¿Cómo puedo reconocer cuando mi enfoque es largo de contar, y cómo evitarlo?

Question

Me pregunto cómo evitar el exceso de contar y reconocer cuando estoy contando. Aquí están algunos ejemplos en los que me sobre-conde.

Ejemplo uno:

¿Cuántas manos de $5$ tarjetas no hubo dos tienen el mismo número.

Aquí está mi planteamiento:

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Vamos a la #: no hay dos que tienen el mismo número de $=N$.

Trabajar con el complemento "de los Dos tienen el mismo número".

$N={52 \choose 5}$-Dos tienen el mismo número

Para obtener el mismo número dos veces. Primero elige un número$2-10$, para un total de $9$ opciones (no cuento con un ace como un número). A continuación, elija $2$ tarjetas de $4$ con ese número. A continuación, elija $3$ tarjetas del resto de las $50$.

$${52 \choose 5}-9{4 \choose 2}{50 \choose 3}$$

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Me doy cuenta de esto cuenta como cuenta corazón 2, 2 espadas, 2 diamantes, 3 corazones, 4 picas diferentes de 2 de diamante, 2 espadas, 2 picas, 3 corazones, 4 picas.

Esto es muy preocupante para mí, porque no sé cómo reconocer cuando yo cuente ni sé cómo solucionar este problema.

Ejemplo dos:

¿Cuántas manos de $13$ contener, al menos, $3$ cartas de cada palo.

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Pick $3$ cartas de cada palo: ${13 \choose 3}$. A continuación, elija una tarjeta de la escariado $52-12=40$: ${40 \choose 1}$. Que da ${13 \choose 3}^4(40)$.

Answer 1

1*. (El tratamiento de la baraja como "números" como se señaló en un comentario más abajo). Elegimos $5$ tipos de números de $13$ distintos números en una cubierta y, a continuación, multiplicamos por $4$ cinco veces cada número hemos seleccionado puede ser representado por $4$ trajes y todas las combinaciones son posibles, todos en todas las $4^5 {13 \choose 5}$ @DougM sugerido.

1.($9$ números de $2$ a $10$, $4$ tarjetas de la cara). Entre las cartas no puede ser de entre el $0$ $5$ números, por $i \in \{0,\dots,5\}$ primer lugar, determinar los distintos números que fueron dibujados: $9 \choose i$, cada número podría ser uno de $4$ trajes, por lo que se multiplican por $4^i$ y luego se multiplica por las posibilidades para que el resto de los $5-i$ tarjetas que se pueden extraer de la $16$ no-números, que es ${16 \choose {5-i}}$, para todos los $i$'s obtenemos $\sum_{i=0}^5 4^i {9 \choose i}{16 \choose {5-i}}$.

Lo que le impide overcounting aquí es la introducción de la $i$ parámetro que ayuda a considerar los casos.

2. Multiplicando por $40$ no es la mejor idea de como estos $40$ tarjetas son de diferentes trajes y todo lo que podía meterse. Debemos limitarnos a elegir el número apropiado de cartas sólo dentro de cada palo, y cómo determinar estos números? Se necesitan al menos $3$ de cada traje, lo que hace la $4*3=12$$13$, el resto de las $1$ tarjeta hace que uno se $3$ un $4$ ($4$ se roban las cartas de uno de los trajes). En total: $$4{13 \choose 4}{13 \choose 3}{13 \choose 3}{13 \choose 3}.$$ We multiply by $4$ as there are $4$ possibilities to choose the suit from which $4$ los números son dibujados.

Lo que hace que este problema no se que complejo es que sólo hay una distribución $(4, 3, 3, 3)$ de cartas al azar de los trajes. Si el ejercicio de decir "al menos dos", habría más posibilidades, por ejemplo,$(7,2,2,2)$; $(6,3,2,2)$; $(5,3,3,2)$ y así, tendríamos que contar las posibilidades en cada caso y sumarlos para obtener el resultado final.