Estoy tratando de resolver el problema
$$\int \frac{dx}{x^2+x+1}$$
Primero, completo el cuadrado, luego factorizo un $\frac {3}{4}$ :
$$\int \frac{dx}{\frac{3}{4}(\frac{4}{3}(x+\frac{1}{2})^2+1)}$$
Dejemos que $u = \sqrt{\frac{4}{3}}(x+\frac{1}{2})$
$$\frac{du}{dx} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$
$$dx = \frac{\sqrt{3}}{2} du$$
Por lo tanto, ahora tenemos la integral:
$$\frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \int \frac{du}{u^2+1}$$
Dejemos que $u = \tan \theta$
$$du = \sec^2\theta \ d\theta$$
Lo que sigue es obvio ahora, y la solución debería serlo:
$$\frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \theta + C$$
$$\theta = \tan^{-1}(u)$$
Así, la solución final es:
$$\frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac 4 3} \left(x+\frac 1 2 \right)\right) + C$$
Sin embargo, según la calculadora online integral-calculator, la respuesta es:
$$\frac 2 {\sqrt 3} \tan^{-1} \left( \frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)+C$$
Cualquier indicación de dónde cae mi error sería muy beneficiosa.
