Dejemos que $(M,g)$ sea un Múltiple de Riemann y $\nabla$ sea una conexión métrica compatible (no necesariamente Levi-Civita) en $M$ . El propio tensor métrico es el término de orden 0 en las derivadas covariantes respecto a la conexión.
El siguiente orden es el tensor de torsión, que se define como $$T(X,Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]$$ , donde $X,Y \in \mathfrak X(M)$ son campos vectoriales en $M$ . Ahora el tensor de torsión es un término de primer orden en las derivadas covariantes respecto a la conexión y además expresado en las coordenadas, $T$ tiene las derivadas de los coeficientes métricos $g_{ij}$ con respecto a las coordenadas elegidas.
El siguiente orden es el tensor de curvatura, definido como
$$R(X,Y)Z := \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]} Z$$
para campos vectoriales $X,Y,Z \in \mathfrak X(M)$ y el tensor de curvatura es claramente de 2º orden en las derivadas covariantes (aparte del último término) y expresado en las coordenadas, tiene las segundas derivadas de $g_{ij}$ con respecto a las coordenadas elegidas.
En los libros de texto/conferencias habituales de geometría diferencial la secuencia de derivadas covariantes de orden superior termina aquí. ¿Qué viene después del tensor de curvatura en las derivadas de orden superior en los coeficientes métricos y de orden superior en las derivadas covariantes? ¿Puedo definir sistemáticamente los términos de orden superior? En caso afirmativo, ¿cuál es el significado de estos campos tensoriales?
