Supongamos que $f$ es un polinomio con coeficientes en el campo de funciones $\mathbb Q(t)$ tal que $f$ es irreducible sobre $\mathbb C(t)$ . ¿Es el grupo de Galois de $f$ en $\mathbb C(t)$ es isomorfo a su grupo de Galois sobre $\mathbb Q(t)$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto no es cierto en general. Por ejemplo, consideremos el polinomio $x^n - t$ . Las raíces de esta sobre $\mathbb{Q}(t)$ son $\zeta_n^i t^{1/n}$ donde $\zeta_n$ es una primitiva $n$ -raíz de la unidad. $\mathbb{C}(t)(t^{1/n})$ contiene todas estas raíces y, por tanto, es el campo de división de $x^n - t$ en $\mathbb{C}(t)$ . Sin embargo, $\mathbb{Q}(t)(t^{1/n})$ sólo contiene una de las raíces, por lo que el campo de división sobre $\mathbb{Q}(t)$ es estrictamente mayor. Como los campos de división tienen diferentes grados, los grupos de Galois no pueden ser iguales.
