Evaluar un integral usando la transformación de Laplace

Question

Evaluar la siguiente integral usando la transformación de Laplace $$ \int_0 ^ \infty\frac {e^{-ax} \sin bx}{x}\,dx$$

Obtuve este resultado parcial $$= \int_0 ^ \infty \frac {1}{p+1} \frac {b}{p^2+b^2}\,dp$$ y estoy atrapado aquí. Sé que la respuesta final es $$ \arctan\frac {b}{a}.$$ Apreciaría si alguien me ayudara a terminar de obtener la respuesta final.

Answer 1

Su resultado parcial no se sostiene. Según Propiedades de la transformada de Laplace $$\int_0^\infty\frac{e^{-ax}\sin bx}{x}\,dx=\cal{L}\left(\frac{\sin bx}{x}\right)(a)=\int_a^{+\infty} \cal{L}\left(\sin bx\right)(p)dp=\int_a^{+\infty} \frac{b}{p^2+b^2}\, dp.$$ ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 2

La forma estándar de LT es $$\mathcal{L}f(t)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt$$ Así que para la integral dada sólo hay que calcular LT de $\frac{\sin bx}{x}$ entonces pon $s=a$ estas dos propiedades de la LT pueden ser útiles $$\mathcal{L} \sin (bx)=\frac{b}{b^2+s^2}$$ y $$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\int_{s}^{\infty}F(s)\,ds$$

Answer 3

Esto no utiliza la Transformada de Laplace, sin embargo, es bastante simple.

$$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial a}\int_0^\infty\frac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}\,\mathrm{d}x &=-\int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)\,\mathrm{d}x\tag{1}\\ &=-\frac1b+\frac ab\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)\,\mathrm{d}x\tag{2}\\ &=-\frac1b+\frac{a^2}{b^2}\int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)\,\mathrm{d}\tag{3}\\ &=-\frac{b}{a^2+b^2}\tag{4} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ : diferenciar dentro de la integral con respecto a $a$
$(2)$ : integrar por partes: $-e^{-ax}\sin(bx)\,\mathrm{d}x=\frac1be^{-ax}\,\mathrm{d}\cos(bx)$
$(3)$ : integrar por partes: $e^{-ax}\cos(bx)\,\mathrm{d}x=\frac1be^{-ax}\,\mathrm{d}\sin(bx)$
$(4)$ : $\frac{b^2}{a^2+b^2}$ veces $(3)$ más $\frac{a^2}{a^2+b^2}$ veces $(1)$

Integración de $(4)$ con respecto a $a$ da $$ \int_0^\infty\frac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}\,\mathrm{d}x=\tan^{-1}\left(\frac ba\right)\tag{5} $$