¿Por qué las funciones recíprocas de trabajar los valores no definidos?

Question

Tengo un cierto problema: Cuando se tiene una función de $f(x)$, y puede tener algunos valores no definidos, el recíproco de la función hace algunas cosas que no entiendo. Por ejemplo:

i) $$f(x)=\tan(x) $$

o la otra: ii) $$ f(x)=\frac {5}{x-3} $$

Claramente se puede ver que para ii) $x=3$ será indefinido y para i) $\pi/2, 3\pi/2,\ldots$

Cuando yo ahora trabajo con las funciones recíprocas mi problema aparece :

i) $$(f(x))^{-1}=\frac{1}{\tan x}=\cot x$$

ii) $$(f(x))^{-1}=\frac{1}{\frac {5}{x-3}}$$

Llegando a mis preguntas:

i) La función de $\cot x$ $0$ a los $x$-los valores de $\tan x$ es indefinido. ¿Por qué es $1/\text{undefined}=0$ y no indefinido?

ii) El mismo aquí; $f(x)$ no está definido en $x=3$, pero dependiendo de la calculadora gráfica que uso se define $$(f(3))^{-1}=0 $$ o como una discontinuidad.

*¿Qué sucede en esos "mágicos" puntos al $f(x)=\text{undefined}$ $(f(x))^{-1}= 1/\text{undefined?}$

Lo que tengo hasta el momento:

"Si y = f (x) = 0 para algún valor de x, entonces 1/f (x) no está definida. Hay un salto o discontinuidad en su gráfica para este valor de x. Esto significa que, como f (x) se aproxima a 0, 1/f (x) va a ser muy de gran valor. Igualmente, si hay un salto o discontinuidad en la gráfica de y = f (x) para algún valor de x, entonces y = 1/f (x) = 0 para que valor de x". Esa es una definición que tengo de "Jenny de Oliva: Matemáticas estudiante de la guía de supervivencia"

y por supuesto : ¿por Qué cot(x)=0 en lugar de indefinido

y mi propia tesis:

Ya que se puede convertir $$ y= \frac {1}{\frac {5}{x-3}}=1\cdot\frac{x-3}{5}$$ el valor para x=3 se define

Mismo para $\cot(x) = \cos(x) / \sin(x)$ donde $x= \pi/2$ está definido.

Es mi tesis de trabajo o estoy perjudicando a las matemáticas en este punto?

Answer 1

El recíproco de $5/(x-3)$$(x-3)/5$, excepto en $x=3$ donde es indefinido.
Por lo tanto, busque cerca de $x=3$, y encontrar enfoques $0$ al $x<3$ e al $x>3$.
Que se llama una "discontinuidad removible'.
Así podría definir $g(x)$$(x-3)/5$, excepto en $x=3$, e $0$$x=3$. Pero eso es sólo lo $g(x)=(x-3)/5$ todos los $x$.

Answer 2

Si quieres ser técnico, se puede pensar sólo en la definición de la reciprocidad en el dominio de la función original, lo que significa que en cualquier punto de $f(x)$ es indefinido, $(f(x))^{-1}$ no está definido... pero lo que más comúnmente se hace es tratar de definir una función en todas partes que la función tenga sentido, y en las dos funciones que se han mencionado, ya que son funciones continuas en torno a estos "puntos malos" y los límites existen, parece razonable extender la definición de $(f(x))^{-1}$ a incluir estos "puntos malos," configuración del valor límite en el que previamente punto indefinido.

La primera idea tiene sentido si se quiere definir el recíproco como "la función de $g(x)$ tal que $g(x)f(x)=1$ todos los $x$ tal que $f(x)$ es definido". La última idea tiene más sentido si se quiere pensar de la reciprocidad en su propio derecho. Para un ejemplo de esto último, no hay ninguna razón para sostener la espalda, desde la definición de $\cot(\pi/2)=\cos(\pi/2)/\sin(\pi/2)=0,$ desde el medio de expresión es perfectamente definidos por allí, y $\cot(x)$ está de acuerdo con esta función en todas partes en un barrio de $\pi/2.$

Answer 3

Si $f(x)$ no está definido para algunos el valor específico de la $x^*$, por lo que es $(f(x))^{-1}$. Sin embargo, si $x^*$ es un valor para el cual contamos $\lim_{x\to x^*} f(x)=\pm\infty$ (no definido en sus términos), entonces se utiliza este otro (pero no realmente correcta) recíproca de la función:

$$g(x):=\begin{cases} (f(x))^{-1} &\text{for %#%#%}\\ 0 &\text{for %#%#%} \end{casos}.$$

Esto es debido a que esta función $x\ne x^*$ es igual a $x=x^*$ donde quiera que se defina, y en caso contrario, se extiende de forma continua. Es, en cierto sentido, una natural extensión de $g(x)$. Es más fácil lidiar con esto $(f(x))^{-1}$ que tener siempre a tener en cuenta para excluir $(f(x))^{-1}$.

Answer 4

La premisa de la pregunta no es cierto. El recíproco de un indefinido de expresión es todavía un indefinido de expresión.

Para el primer ejemplo:

$$(f(x))^{-1}=\frac{1}{\tan x}=\cot x$$

...

La función de $\cot x$ $0$ a los $x$-los valores de $\tan x$ es indefinido. ¿Por qué es $1/\text{undefined}=0$ y no indefinido?

La función de $\cot x$$\frac{\cos x}{\sin x}$, no $\frac{1}{\tan x}$. La expresión $\frac{1}{\tan x}$ es indefinida cuando $\tan x$ no está definido, pero esto no afecta a $\cot x$, debido a $\cot x$ $\frac{1}{\tan x}$ son diferentes.

Para el segundo ejemplo:

$$ f(x)=\frac {5}{x-3} $$

$$(f(x))^{-1}=\frac{1}{\frac {5}{x-3}}$$

El mismo aquí; $f(x)$ no está definido en $x=3$, pero dependiendo de la calculadora gráfica que uso se define $$(f(3))^{-1}=0 $$ o como una discontinuidad.

Bien, independientemente de lo que su calculadora gráfica dice, $(f(3))^{-1}$ no está definido, debido a que $f(3)$ es indefinido.

y mi propia tesis:

Ya que se puede convertir $$ y= \frac {1}{\frac {5}{x-3}}=1\cdot\frac{x-3}{5}$$ el valor para x=3 se define

Mismo para $\cot(x) = \cos(x) / \sin(x)$ donde $x= \pi/2$ está definido.

Es mi tesis de trabajo o estoy perjudicando a las matemáticas en este punto?

No es correcto para simplificar $\frac {1}{\frac {5}{x-3}}$$\frac{x-3}{5}$, debido a que el denominador de $\frac {1}{\frac {5}{x-3}}$ es indefinida cuando $x = 3$.

---

Cabe señalar que "indefinido" no es un valor matemático. La palabra "undefined" es un adjetivo y significa "no tener una definición". Esta es la razón por la que los matemáticos escribir siempre "no está definido", nunca "= no definido".

Algunas de las definiciones son condicionales, es decir, que sólo el "trabajo" bajo ciertas condiciones. Por ejemplo, la definición de división en los números reales es:

Si $x$ $y$ son números reales, y $y \ne 0$, $\frac{x}{y}$ es que el número real tal que $\frac{x}{y} \cdot y = x$.

Esta definición nos dice lo que, dicen, $\frac23$ es, pero no da una definición de $\frac10$, por lo que la expresión $\frac10$ todavía no tiene una definición.

La definición también no da resultado cuando cualquiera de las $x$ o $y$ no se define como un número real. Es por eso que una fracción es indefinido, siempre que su numerador o el denominador es indefinido.

Answer 5

En el grado de matemáticas de la escuela, funciones como: $$ f(x) = \frac{5}{x-3} $$ . . . son, de hecho, dijo estar "$\text{undefined}$" en puntos como $3$. Esto es debido a que estas funciones son implícitamente a través de los números reales.

En mi opinión, suele ser más intuitiva, en lugar de considerar el valor real de las funciones de la proyectivos reales (es decir, el "punto de compactification" de los reales). Este es básicamente el mismo los números reales que todos sabemos y el amor, además de que el número de "$\infty$". Usted debe tratar a los $\infty$ (casi) como cualquier otro número, con algunas reglas de sentido común:\begin{align} c \mp \infty &= \infty, \text{ all } c ~\neq \infty\\ c \cdot \infty &= \infty, \text{ all } c ~\neq ~0\\ c ~/~ \infty &= ~0, ~\text{ all } c ~\neq \infty\\ c ~/~ 0 &= \infty, \text{ all } c ~\neq ~0 \end{align}

Esto hace que todo sea más limpio y permite definir una clase más amplia de funciones. Larga historia corta: $$ f(3) = \frac{5}{3-3} = \frac{5}{0} = \infty $$ $f(3)$ ya no es indefinido. Se define como $\infty$. Así que ahora cuando se desea calcular el recíproco, funciona de cualquier manera:\begin{align} (f(3))^{-1} &= \frac{1}{(f(3))} = \frac{1}{(\frac{5}{3-3})} = \frac{1}{(\frac{5}{0})} = \frac{1}{(\infty)} = 0\\ (f(3))^{-1} &= \frac{3 - 3}{5} = \frac{0}{5} = 0 \end{align} Fácil!

---

Este tipo de análisis de obras, para muchos "$\text{undefined}$" de las funciones. E. g.:$$ \log(0) = \tan(\pi/2) = 1/0 = -8/0 = \infty $$

---

El proyectivos reales no puede arreglar todo. Por ejemplo, considere la posibilidad de: $$ f(x,y) = \frac{x}{y} $$ Todavía estamos atrapados $x=0, y=0$ (que no puede aplicar ninguna de las reglas anteriores). Por lo $f(0,0)$ debe todavía ser $\text{undefined}$. Sin embargo, se observa que la $(f(x,y))^{-1}=\frac{y}{x}$ también $\text{undefined}$ $x=0, y=0$ . Por lo que su intuición acerca de las $1/\text{undefined}=\text{undefined}$ está satisfecho. No he probado esto siempre será verdad para el proyectivos reales, pero parece ser, al menos, más comunes, de todos modos.