¿Por qué necesitamos el operador de identidad, E

Question

En la teoría de grupos, para asignar un grupo puntual, primero hay que identificar los elementos de simetría presentes en la molécula.

Por poner un ejemplo, el agua tiene:

• un eje de rotación, etiquetado como C ₂ ya que es un eje doble, con una rotación /2 que devuelve (lo que parece ser) lo mismo
• dos planos especulares, etiquetados _v y _v (con etiquetas adicionales xy/xz para definir en qué plano se encuentra el plano de espejo)

_{<strong>Elementos de simetría presentes en el agua</strong>}

(Tenga en cuenta que para el C _2v grupo de puntos, los ejes se definen "arbitrariamente", diferentes tablas/libros pueden intercambiar x e y)

A partir de esto, parecería que el agua tiene tres elementos de simetría únicos, sin embargo este no es el caso, de hecho, el agua tiene cuatro debido a la presencia de un elemento de simetría adicional, E, conocido como operador de identidad (a veces visto como I en ciertos libros de texto).

Este operador E corresponde a "no hacer nada" (es decir, dejar los átomos donde están), lo que se ve fácilmente en la tabla de caracteres para el C _2v grupo de puntos (al que pertenece el agua) en el que los caracteres bajo E son todos "1":

$$\begin{array}{c|cccc|cc} \hline C_\mathrm{2v} & \color{red}{E} & C_2 & \sigma_\mathrm{v}(xz) & \sigma_\mathrm{v}'(yz) & & \\ \hline \mathrm{A_1} & \color{red}{1} & 1 & 1 & 1 & z & x^2, y^2, z^2 \\ \mathrm{A_2} & \color{red}{1} & 1 & -1 & -1 & R_z & xy \\ \mathrm{B_1} & \color{red}{1} & -1 & 1 & -1 & x, R_y & xz \\ \mathrm{B_2} & \color{red}{1} & -1 & -1 & 1 & y, R_x & yz \\ \hline \end{array}$$

$\,$

_{<strong>C 2v tabla de caracteres, de <a href="https://chemistry.meta.stackexchange.com/questions/3435/group-theory-tables">Tablas de teoría de grupos de ortocresol</a></strong>}

La identidad, E, consiste en no hacer nada; el elemento de simetría correspondiente es el objeto completo. Como toda molécula es indistinguible de sí misma si no se le hace nada, todo objeto posee al menos el elemento de identidad. (Tomado de la obra de Atkins Química física ).

Dado que la transformación de una molécula por el operador de identidad sólo devuelve a sí misma, el uso de "E" en un sentido cualitativo parece redundante, sin embargo aparece en cada tabla de caracteres, y como tal mucho tienen un propósito.

¿Por qué necesitamos el operador de identidad, E, y qué utilidad tiene en la teoría de grupos químicos?

Answer 1

No es que nosotros necesito el operador de identidad. Es sólo que las cosas (tablas de caracteres, representaciones irreducibles, etc.) funcionan como lo hacen. En cuanto a por qué lo hacen, te remito a cualquier libro de texto decente sobre teoría de grupos .

Supongo que se podría reconstruir toda la teoría desde cero (es decir, reformular todas las definiciones, empezando por la propia definición de grupo, reprobar todos los teoremas, etc.) sin utilizando explícitamente $\rm E$ . Sin embargo, eso supondría una cantidad de trabajo titánica, y bastante inútil. Además, muchas cosas como " orden de un grupo es divisible por... " empezaría a sonar menos natural.

Ahora que lo pienso, ¿por qué necesitamos el número $0$ en las matemáticas? Al fin y al cabo, se queda ahí sin hacer nada. Pues bien, no hacer nada puede ser bastante importante: hace que muchas otras cosas sean más sencillas.

Answer 2

Lo que preguntas surge como consecuencia fundamental de la definición de los espacios vectoriales y de las operaciones definidas para ellos y, en concreto, de los grupos de simetría. El operador identidad no hace "nada" (ver más adelante) y sí pertenece a la definición formal de un grupo, y se incluye para satisfacer dicha definición.

De Byron y Fuller Matemáticas de la Física Clásica y Cuántica :

...a grupo es un sistema que consiste en un conjunto de elementos y reglas para combinar los miembros de este conjunto.

Esto prepara el terreno para la definición:

Un grupo es un sistema $\{G, \cdot\}$ que consiste en el conjunto $G$ y un solo cerrado operación $\cdot$ que satisface los tres axiomas siguientes:

1. Si $a, b, c \in G$ entonces $a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b) \cdot c$ (asociatividad).

2. Existe un elemento de identidad $e\in G$ tal que para todo $a\in G$ , $a\cdot e = e\cdot a = a$ .

3. Por cada $a\in G$ existe un elemento inverso en $G$ , denotado como $a^{-1}$ , de tal manera que $a\cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = e$ .

Teniendo en cuenta esto, podemos ir a un inglés más sencillo como hacen Wilson, Decius y Cross en Vibraciones moleculares donde señalan que

Es evidente que para cada operación de simetría que posee una molécula hay alguna operación, ya sea la misma o una diferente, que deshace el trabajo de la primera.

Este es un punto importante, e ilustra operativamente lo que hace el operador de identidad y por qué se incluye en todos los grupos:

...si una operación $R$ cambia una molécula de la posición I a la posición II, entonces hay una operación que desplaza la molécula de II a I. Tal operación se llama inversa de la operación original y se escribe $R^{-1}$ . Simbólicamente, $R^{-1}R = E$ ya que el símbolo $E$ representa la operación de identidad, que deja la molécula inalterada.

(Para que conste, WDC también escribe que "... $E$ se utiliza para la operación trivial de dejar una molécula en su posición original").

Answer 3

Operador de simetría $E$ es la simetría más baja que puede poseer una molécula; y de hecho todos los objetos poseen este operador. Sin embargo, entre las moléculas que revelan $E$ como el único la operación son los que exhiben quiralidad centrada estereogénica, como $\ce{CFClBrI}$ . Por lo tanto, $E$ tiene valor, no es redundante y es necesario.

Answer 4

Bueno, según este post de Math StackExchange se necesita el elemento identidad porque es imposible definir un elemento inverso a si no conoce el elemento de identidad e . La definición de grupo incluye el elemento de identidad (a continuación).

Existe un elemento e en [Grupo] G tal que, para todo elemento a en G, se cumple la ecuación e - a = a - e = a. Tal elemento es único (ver más adelante), y por lo tanto se habla del elemento identidad. ( Wikipedia )

Answer 5

Este es un caso especial de un fenómeno que se da en todas las matemáticas. Por ejemplo, se puede preguntar por qué tenemos el cero por razones similares. La respuesta es frecuente: a menudo es más fácil razonar sobre una colección de cosas si la cosa que representa "nada" se considera parte de la colección.

Por ejemplo, si no tuviéramos cero habría dos tipos de frases sobre cuánto dinero tenemos: "Tengo \$X" or "I don't have any money". If you allow X to be zero then you only need one kind of sentence "I have \$ X".

En el caso de los grupos, muchos teoremas son más fáciles de enunciar si se incluye la identidad como parte de la colección. Por ejemplo, "el orden de un subgrupo divide el orden de un grupo" es mucho más fácil que "uno más el orden de un subgrupo divide uno más el orden de un grupo". Y "en un grupo siempre se pueden multiplicar dos elementos" se convierte en "se pueden multiplicar elementos la mayor parte del tiempo pero hay ciertos pares que no se pueden multiplicar porque al multiplicarlos se anulan haciendo nada pero no consideramos que hacer nada sea un elemento del grupo". Más cerca de tu ejemplo, el enunciado de la relaciones de ortogonalidad para las tablas de caracteres sería más complejo.

El hecho de que muchas cosas se simplifiquen cuando se incluye la identidad es una buena razón para que esté ahí.