Menor Potencia Posible

Question

Cuando se trabaja en mejorar mis habilidades con los índices, me encontré con la siguiente pregunta:

Encontrar el más pequeño de los enteros positivos $m$ $n$ para que: $12<2^{m/n}<13$

En mi primer intento de dividir esto en dos partes y, a continuación, utilizando logaritmos encontró a los dos valores de $m/n$ tenía entre. Sin embargo, yo no estaba seguro de cómo avanzar más allá de eso.

Tengo la respuesta en sí $(11/3)$, pero estoy seguro de cuál es el mejor método para encontrarlo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

La desigualdad es equivalente a $\,12^n \lt 2^m \lt 13^n\,$. Por la fuerza bruta, en busca de los poderes de $2$ $12^n$ $13^n$ a partir de la más baja posible de la $n=1$ hasta:

• $\;n=1\,$: no hay soluciones, desde la $\,2^3 = 8 \lt 12^1 \lt 13^1 \lt 16=2^4\,$

• $\;n=2\,$: no hay soluciones, desde la $\,2^7 = 128 \lt 144 = 12^2 \lt 13^2 = 169 \lt 256=2^8\,$

• $\;n=3\,$: $\,12^3 = 1728 \lt 2048 = 2^{11} \lt 2197 = 13^3\,$, por lo tanto, $m=11, n=3$ es una solución.

Answer 2

Comenzando con $12^n < 2^m < 13^n$, podemos ver que $n \log_2(12) < m < n \log_2(13)$. Llegamos a la conclusión de que \begin{align} m &= \left\lceil n\dfrac{\log(12)}{\log(2)} \right\rceil \\ &\approx \lceil n \times 3.584962500721156181453738943947816508759814407692481060455\dots \rceil \end{align}

El primer par de valores de $m$ $n$

$(m,n) \en \{(11, 3), (15, 4), (18, 5), (22, 6), (26, 7), (29, 8), (33, 9), (36, 10)\}$

Se puede ver que $m=11$ $n=3$ será el menor de los valores de $m$$n$.

Tenga en cuenta también que no hay valor más pequeño de $\dfrac mn$ desde $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac mn = \log_2 12$ $\log_2 12$ es irracional.

Answer 3

De $2^{\frac{m}{n}}<13$ siguiente $\dfrac{m}{n}<\log_2{13}$

El desarrollo de $\log_2{13}$ en la continuación de la fracción obtenemos $\{3,1,2,2,1,\ldots\}$

El uso de $3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}$ obtenemos $\dfrac{11}{3}$ da $m=11;\;n=3$

Pasando nos encontramos con $3+\dfrac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=\dfrac{26}{7}$ da $m=26;\;n=7$ y así sucesivamente

Answer 4

$$3.5849...=\log_{2}12<\frac{m}{n}<\log_{2}13=3.70...$$ Así, por $\frac{m}{n}=3\frac{2}{3}$ se produce.

Si queremos hacer de $3$ en el denominador sea menor que llegaremos $n=2$ y es imposible.

Por lo tanto, $3\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$ es nuestra respuesta.

Answer 5

Puedes escribir esto como un entero programa:

$ \text{min } m + n$

sujeto a:

$n \log_2(12) - m <= 0$

$n \log_2(13) - m >= 0$

$m >= 1$

$n >= 1$

y resolver con un número entero de programación de solver. Esto podría sufrir numérica de problemas.