El valor máximo de una función. Yo no soy capaz de comprobar doble derivados.

Question

Puede alguien explicar cómo me $\sin^p x \cos^q x$ alcanza su máxima en $\tan^2 x = \frac pq$.

Yo no soy capaz de comprobar si la doble derivada es positiva o negativa.

Pregunta

Mostrar que $$\sin^p\theta\cos^q\theta$$ attains a maximum when $$\theta=\tan^-1\sqrt{(p/q)}$$

Solución

Ley $y=\sin^p\theta\cos^q\theta$. Para un máximo o mínimo de$y$, $\frac{\text dy}{\text dx}=0$

$$\begin{align}p\sin^{p-1}\theta\cos^{q+1}\theta-q\sin^{p+1}\theta\cos^{q-1}\theta&=0\\ \sin^{p-1}\theta\cos^{q-1}\theta(p\cos^2\theta-q\sin^2\theta)&=0\end{align}$$

Por lo tanto,\begin{align}\sin\theta&=0\\ &\Downarrow\\ \theta&=0\\ \text{or } \cos\theta&=0\\ &\Downarrow\\ \theta&=\frac \pi 2\\ \text{or }\tan^2\theta&=\frac pq\\ &\Downarrow\\ \theta&=\tan^{-1}\sqrt{p/q}\end {align}

Ahora$y=0$$\theta=0$, y también en la $\theta=\frac\pi2$

Cuando $0<\theta<\frac\pi2$, $y$ es positiva

También, $\tan^{-1}\sqrt{p/q}$ es el único valor de $\theta$ que se extiende entre los $0$ $\frac \pi2$ a que $\frac{\text d}{\text dx}=0$.

Por lo tanto $y$ es máxima cuando el $$\theta=\tan^{-1}\sqrt{p/q}$$

Esto es claro a partir de la gráfica de $y$

Answer 1

Esta es una buena aplicación de diferenciación logarítmica.

Considere la posibilidad de $$f=\sin^p(x) \cos^q(x)\implies \log(f)=p \log(\sin(x))+q \log(\cos(x))$$ Differentiate both sides $$\frac{f'}f=p \cot(x)-q \tan(x)=\frac{p-q \tan^2(x)}{\tan(x)}$$ y, a continuación, las condiciones para un extremo como ya se ha dado en las respuestas.

Pero, tenemos que marcar la segunda derivada : iniciar con $$f'=f \left(\frac{f'}f \right)$$ and differentiate using the product rule $$f''=f'\left(\frac{f'}f\right)+f \left(\frac{f'}f \right)'$$ But, at the extremum $f'=0$ which reduces the problem to the sign of $$f \left(\frac{f'}f \right)'=-f\,(p \csc ^2(x)+q \sec ^2(x))$$

Editar

Si quieres continuar con la diversión, el uso de $$\sin(\tan^{-1}(t))=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\qquad \cos(\tan^{-1}(t))=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}$$ and replacing $t$ by $\sqrt{\frac{p}{q}}$ the maximum value of $f$ is given by $$f_{max}=\sqrt{\frac{p^p \, q^q}{(p+q)^{(p+q)}}}$$

Como se dijo en los comentarios, esto funciona para cualquier valor de $p>0$, $q>0$, $p$ y $q$ ser números enteros, racionales o no racionales números.

Considerando el caso en que $p+q=k$, utilizando de nuevo diferenciación logarítmica deberíamos encontrar la manera de que $$\frac{f'_{max}}{f_{max}}=\frac 12 \log \left(\frac{p}{k-p}\right)$$ which is positive if $p>\frac k 2$ y negativa en caso contrario.

Answer 2

Su imagen se muestra una prueba de que $f'(x)=0$$x=x_0=\arctan\sqrt{p/q}$. Como $p$, $q\ge1$, $0<x_0<\pi/2$. Pensar en la gráfica de $f$$(0,\pi/2)$: $f(0)=f(\pi/2)=0$ $f(x)>0$ si $0<x<\pi/2$. A continuación, $f$ sin duda ha un máximo en el intervalo abierto $(0,\pi/2)$. Pero el cálculo en la imagen se muestra el único punto de inflexión está en $x_0$. Por lo $f$ tiene un máximo en $x_0$. No es necesario considerar la posibilidad de $f''(x_0)$.

Answer 3

Cuando se desea maximizar $Sin^p x Cos^q x$ usted también puede maximizar $Sin^{2p} x Cos^{2q} x$ así ,supongamos que necesita para maximizar $$f=Sen^{2} x Cos^{t2} x=\\ (Sin^2 x)^ (Cos^2x)^p$$ sabemos $$sin^2x+cos^2x=1$$ so ,put down $cos^2x=1-sen^2x$ in $f$ $$f=(Sin^2 x)^p (Cos^2x)^q=(Sin^2 x)^p (1-in^2x)^q=X^pY^q$$ with $$X+Y=1$$ ahora ,toma el valor de f' $$f=X^p(1-X)^q \a \\f'=pX^{p-1}(1-X)^{q}-qX^{p}(1-X)^{p-1}=0\\ X^{p-1}(1-X)^{p-1}(p(1-X)-qX)=0\\$$ form here $$X=0,1,\frac{p}{p+q}$$ $0,1$ no hacer el máximo de $f(0)=0,f(1)=0$ $f(\frac{p}{p+q})$ es max, cuando regrese al principio ,usted verá $$X=sin^2 x=\frac{p}{p+q}$$ so find $$cos^2x=1-X=1-\frac{p}{p+q}=\frac{q}{p+q}$$ and finally $$tan^2x=\frac{sin^2x}{cos^2x}=\frac{\frac{p}{p+q}}{\frac{q}{p+q}}=\frac{p}{q}$$

Answer 4

Usted no tiene que comprobar la segunda derivada. Lo que uso es:

$$y(0) = \sin^p(0)\cos^q(0) = 0$$ $$y(\pi/4) = \sin^p(\pi/4)\cos^q(pi/4) = 2^{-p/2-q/2} > 0$$ $$y(\pi/2) = \sin^p(\pi/2)\cos^q(pi/2) = 0$$

Así que usted puede ver que $y$ debe tener un máximo de algunos $c\in[0,\pi]$, y tiene que ser por lo menos$2^{-(p+q)/2}>0$, por lo que no es el final puntos, lo que significa que $y'(c) = 0$ y sólo hay un punto donde esto es por lo que debe ser el máximo.

Answer 5

Para simplificar, voy a asumir que tanto $p$ $q$ tienen al menos 1. (Tenga en cuenta que si $q = -1$$p = 1$, entonces su función es$\tan x$, y no tener un máximo!)

Primero se toma la derivada, $$p\sin^{p-1} x\cos^{q+1}x - q\sin^{p+1}x\cos^{q-1}x = sin^{p-1}x\cos^{q-1}x(p\cos^{2}x - q\sin^{2}x).$$

La configuración de la última parte igual a cero, tenemos que, o bien

$\sin^{p-1}x = 0$, $\cos^{q-1}x = 0$ o $\tan^{2}x = \frac{p}{q}$.

De ello se desprende que las entradas que satisfacer $\sin^{p-1}x = 0$ $\cos^{q-1}x = 0$ no dar un máximo. (Con esta entrada, su salida de la función sería cero y hay entradas que los rendimientos de los valores positivos.)

Así que nos quedamos con $\tan^{2}x = \frac{p}{q}$.

Ya tenemos el teorema de que si una entrada es un local maximizer, debe ser un punto crítico, y descartamos el resto de los casos, luego el local maximizer debe ser una solución a la ecuación anterior. (Tenga en cuenta que es posible que no son soluciones de la ecuación anterior que no maximizers.)

Finalmente, invocando el hecho de que su función es periódica nos permite decir que el local maximizer es un mundial maximizer.