La inversión de la modulares $J$ función

Question

Klein modular la función $J(z)$ está definido y estudiado en, por ejemplo, Apostol del libro Modular funciones y de Dirichlet la serie en la teoría de números.

Ciertas evaluaciones específicas están disponibles, por ejemplo,

$$J(i) = 1$$

Además, se sabe que $J(z)$ toma en todo el complejo valores.

Pregunta: ¿Puede uno resolver para que $z$ en los fundamentales de dominio

(ya sea de forma explícita o numéricamente) que satisface $J(z) = \mathrm{i}$?

Answer 1

Sí, es posible. Aquí está la manera de hacerlo: elige a tu favorito de curva elíptica $E/\mathbf C$$j(E) = i$. Por ejemplo, la curva de

$$y^2 +xy = x^3 -36(j-1728)^{-1}x - (j-1728)^{-1}$$

ha $j(E)=j$ $j \neq 0, 1728$ (tan, sólo tiene que enchufar $j=i$). Calcular los períodos de $\omega_1$$\omega_2$. A continuación, $\tau = \omega_2/\omega_1$ satisface $j(\tau)=i$.

Answer 2

Sí, la función inversa de la $j$-invariante puede ser expresada en términos de la función hipergeométrica. Desde entonces,

$$j(\tau) = 1728J(\tau)\tag{1}$$

podemos resolver para$\tau$,

$$\tau = i\frac{{}_2F_1(1/6, 5/6; 1; 1-\alpha)}{{}_2F_1(1/6, 5/6; 1; \alpha)}\tag{2}$$

donde $\alpha$ es raíz de la ecuación cuadrática,

$$4\alpha(1-\alpha)=\frac{1}{J(\tau)}\tag{3}$$

Ya que tu post es acerca de $J(\tau) = i$, el taponamiento de que en (3), resolución de $\alpha$,, a continuación, conectar raíz (2), encontramos que ambos,

$$\tau \approx 0.199329+0.7783729 i$$

$$\tau \approx -0.308752+1.2056644 i$$

rendimiento

$$J(\tau) = i$$

Tener numéricamente determinado $\tau$, luego traté de Mathematica's Reconocer la función para ver si había una forma cerrada, sino $\tau$ no parece ser una expresión algebraica número de deg $< 8$.

Answer 3

Nota: ccorn me unían a esta pregunta aquí.

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No hay una fórmula explícita para invertida $j$-función en términos de funciones hipergeométricas, es decir,

$$j^{-1}(\tau) = i\frac{{}_2F_1(1/6, 5/6; 1; 1-q)}{{}_2F_1(1/6, 5/6; 1; q)} \tag{1}$$

donde $q$ es la solución a la ecuación cuadrática $1/\tau = q(1-q)/432$. Puesto que usted está interesado en $\tau = 1728i$, que se podría conectar de que en el cuadrática y, a continuación, sustituir por $q$$(1)$.

Veo que te piden una solución en los fundamentales de la región de $-$, que es algo que no estoy seguro de. Esta derivación viene de la $\lambda$-definición de $j$, por lo que las probabilidades de no dar una solución a la derecha donde usted desee. Su mejor apuesta, es la aplicación de las sucesivas transformaciones de Möbius

$$z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$$

Para llegar al lugar correcto.