El rango de un random $n$ $n$ matriz con entradas en ${\Bbb F}_2$, que es elegido de forma independiente y la misma probabilidad de ser $0$ o $1$ es analizado en Kolchin el libro de Grafos Aleatorios en $\S 3.2$. Se concluye que la probabilidad de que el rango de un random $n$ $n$ matriz es $n-s$ es igual a
$$
P_{n,s}:=2^{s^2}\left( \prod_{0\le i\le n-s-1} (1-2^{-(n-i)}) \right)\left(\sum_{0\le i_1\le \cdots \le i_s \le n-s} 2^{-i_1-\cdots-i_s}\right). \ \ (*)
$$
Esto se logra mediante la construcción de la matriz fila por fila. Si, después de un número determinado de filas, el espacio abarcado por estos en las filas de la dimensión $k$, entonces la siguiente fila aumenta el rango probabilidad $1-2^{-(n-k)}$, y se deja sin cambios con una probabilidad de $2^{-(n-k)}$. Suponiendo que el rango de la matriz completa es $n-s$, no debe ser $n-s$ filas que aumentar el rango y $s$, lo que deja sin cambios. Las filas que cambiarla puede ser especificado por dar el parcial de filas de la matriz en el momento en el que estos se agregan filas. Si estos rangos, en orden no decreciente, son $n-s-i_s$, $n-s-i_{s-1}$, $\dots$, $n-s-i_1$ ($0\le i_1\le\cdots\le i_s\le n-s$), entonces la probabilidad de obtener un rango de $n-s$ matriz de esta manera puede ser escrito como el producto
\begin{eqnarray*}
&&(1-2^{-n})(1-2^{-(n-1)})\cdots(1-2^{-(i_s+s+1)})2^{-(i_s+s)}\\
&&(1-2^{-(i_s+s)})(1-2^{-(i_s+s-1)})\cdots(1-2^{-(i_{s-1}+s+1)})2^{-(i_{s-1}+s)}\\
&&\vdots\\
&&(1-2^{-(i_2+s)})(1-2^{-(i_2+s-1)})\cdots(1-2^{-(i_1+s+1)})2^{-(i_1+s)}\\
&&(1-2^{-(i_1+s)})(1-2^{-(i_1+s-1)})\cdots(1-2^{-(s+1)}).
\end{eqnarray*}
Simplificando el producto y suma más de $i_1$, $\dots$, $i_s$ rendimientos $(*)$.
Si $s=0$, esto es fácil de ver: la $j$th fila siempre debe aumentar el rango de$j-1$$j$, que lo hace con una probabilidad de $1-2^{-(n-(j-1))}$, por lo que la probabilidad de que la matriz es de rango completo es
$$
P_{n,0}=\prod_{1\le k\le n} (1-2^{-k}).
$$
Fijo $s$ $n$ se convierte en grande, $P_{n,s}$ se aproxima al valor límite
$$
Q_s:=2^{s^2} \left( \prod_{i\ge s+1} (1-2^{-i}) \right)\left(\prod_{1\le i\le s} (1-2^{-i})^{-1}\right).
$$
Numéricamente,
\begin{eqnarray*}
Q_0&\approx&0.2887880950866, \qquad \text{(OEIS A048651)}\\
Q_1&\approx&0.5775761901732,\\
Q_2&\approx&0.1283502644829,\\
Q_3&\approx&0.0052387863054,\\
Q_4&\approx&4.656698938156\cdot 10^{-5},\\
Q_5&\approx&9.691360953499\cdot 10^{-8},\\
Q_6&\approx&4.883527817334\cdot 10^{-11},\\
& & \text{and so on}:
\end{eqnarray*}
la matriz de este tipo es muy probable que tenga rango ligeramente menor que el $n$. El valor esperado de el rango de la matriz será igual a $n-\sum_{0\le s\le n} s P_{n,s}$. Como $n$ se convierte en grande, este se acerca a $n-\eta$, donde
$$
\eta:=\sum_{s\ge 0} s Q_s\approx0.850179830874.
$$
Si la matriz es de más de $\Bbb Q$ lugar de a través de a ${\Bbb F}_2$, aún con las entradas que se han elegido de forma independiente y la misma probabilidad de ser $0$ o $1$, entonces, cuando $n$ se hace más grande, la probabilidad de que la matriz tiene rango completo enfoques $1$. Bourgain, Vu, y la Madera de 2009 estima que al menos $1-(2^{-1/2}+o(1))^n$. (La estimación es indicado para las matrices aleatorias con las entradas en $\{\pm 1\}$, pero puede ser transferido a las matrices con entradas en $\{0,1\}$.) Por lo tanto, como $n$ se hace más grande, se espera que el rango de enfoques $n$. El número de singular racional de las matrices con un tamaño determinado y entradas en $\{0,1\}$ es OEIS A046747.
