Encontrar la suma de la serie de $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n+1 }\left( \frac { n+2 }{ { n }^{ 5 } } \right) } $ correcta a 3 decimales.

Question

Esta es una pregunta que me encontré mientras estudiaba en la Academia Khan:

Encontrar la suma de la serie $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n+1 }\left( \frac { n+2 }{ { n }^{ 5 } } \right) } $ correcto a tres lugares decimales.

Lo resuelto por el cálculo de ${ S }_{ 1 },{ S }_{ 2 },{ S }_{ 3 },...\\ $ hasta que tuvo suficiente valor (mal método, lo sé). De todos modos, aquí está la solución de los pasos dados en la respuesta:

Tenga en cuenta que este es un convergentes alterna de la serie. La Alternancia de la Serie de Estimación Teorema afirma que el error de enlazado en la suma de los primeros a $n$ es el valor absoluto de la primera omitido plazo; es decir, $\left| { a }_{ n+1 } \right| $. Para obtener tres dígitos de precisión, es necesario encontrar las $n$ tal que $\left| { a }_{ n+1 } \right| <\ 0.0005$, o, equivalentemente,$\frac { n+3 }{ { (n+1) }^{ 5 } } <0.0005$.

Al$n=6$,$\left| { a }_{ n+1 } \right| =\frac { n+3 }{ { (n+1) }^{ 5 } } =\frac { 9 }{ 16807 } \approx .000535$; que no es lo suficientemente preciso.

Al$n=7$,$\left| { a }_{ n+1 } \right| =\frac { n+3 }{ { (n+1) }^{ 5 } } =\frac { 10 }{ 32768 } \approx .000305$; que le dará un resultado final dentro de $0.0005$.

Por lo tanto tenemos que encontrar la suma de los siete primeros términos de la serie.

$$\sum _{ n=1 }^{ 7 }{ { (-1) }^{ n+1 }\left( \frac { n+2 }{ { n }^{ 5 } } \right) \approx 2.8914 } $$

Por lo tanto, $2.891$ es una precisión de tres decimales.

Lo que no entiendo acerca de esta respuesta es si la estimación es $2.8914$ y el error de enlazado es $0.000305$, creo que la suma real puede estar cerca de $2.8914+0.000305\approx 2.891705\approx 2.892$. A continuación, el resultado anterior no es correcta.

¿Responde esto toma en cuenta el hecho de que el $(7+1)th$ plazo es negativo? O es que hay algo acerca de redondeo y límites de error que no entiendo?

Gracias.

Answer 1

Me gustaría leer la pregunta de la misma manera que usted lo hizo-encontrar un tres decimales valor que conocen la verdad de la suma de la serie de rondas. Sabemos, a partir de la alternancia de la serie teorema de que el error de truncamiento es menor que el primer descuidado plazo en valor absoluto y del mismo signo. No hay ningún error de truncamiento que podemos garantizar que va a ser lo suficientemente pequeño, porque podríamos estar a punto a la derecha en el redondeo de los límites, con la calculada responder algo como $2.8915$. Aquí, porque después de siete términos que hemos $2.8914$ y sabemos que el octavo término es negativo, la respuesta correcta está en el rango de $(2.8911,2.8914)$ y toda esta gama rondas de a $2.891$

Answer 2

Esta es una corriente alterna de la serie, por lo que el error se estima por el último término. Puesto que usted desea que el error sea menor que $10^{-3}$ en tamaño, sólo necesita elegir $n$, de modo que ${n+2\over n^5}<10^{-3}$ ya que los términos están disminuyendo.

Resolver vemos a $n+2<10^{-3}n^5$. Afirmamos esto es así para $n\ge 7$

$$7+2=9<16.807=7^5\cdot 10^{-3}.$$

Para $n>7$ vemos que por inducción se puede concluir que este con el paso inductivo se

$$(n+1)+2<10^{-3}n^5+1< 10^{-3}(n+1)^5,$$

A continuación, la adición de la primera $6$ condiciones no le $2.891$ a tres lugares decimales.