Evaluar el límite de $\lim_{n\to\infty} \left[ \frac{n}{n^2+1}+ \frac{n}{n^2+2^2} + \ldots + \frac{n}{n^2+n^2} \right]$

Question

Evaluar el límite de $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left[ \frac{n}{n^2+1}+ \frac{n}{n^2+2^2} + \ldots + \frac{n}{n^2+n^2} \right]$

Tengo una pregunta sobre la siguiente solución:

Se puede escribir en la forma:

$$\frac{1}{n} \left[ \frac{1}{1+(\frac{1}{n})^2} + \ldots + \frac{1}{1+(\frac{n}{n})^2} \right]$$

De alguna manera tengo que averiguar que el límite es en realidad la suma de Riemann de $\frac{1}{1 + x^2}$$[0,1]$$\pi = 0 < \frac{1}{n} < \ldots < \frac{n}{n}$.

Puede que me explique para llegar a esta conclusión?

Answer 1

El número que buscamos es $$\begin{equation} L = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\cdot\frac{1}{n}\tag{1} \end{equation}$$ Ahora, dejando $$\begin{align*} \Delta x &= \frac{1}{n} & x_k &= \frac{k}{n} \end{align*}$$ nos permite reescribir (1) como $$L = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+x_k^2}\Delta x$$ Si estás familiarizado con el estándar de la construcción de la integral de Riemann, usted va a reconocer esto como $$L=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx$$

Answer 2

Así que ya dio la respuesta no puede averiguar cuál es el problema? Usted acaba de decir: Vamos a $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$.

$$\lim\limits_{n\to +\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{n^2}{n^2+k^2}=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1-0}{n}\sum\limits_{k=1}^nf\left( 0+\frac{1-0}{n}k\right)=\int\limits_0^1f(t)\mathrm dt$$

Answer 3

$$\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{1+\left(\frac kn\right)^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}\left(=\frac\pi4\;.\;\;Why?\right)$$

Sólo tenga en cuenta que la suma es

$$\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right)(x_{k+1}-x_k)\,,\,\,\text{with}\;\;f(x)=\frac1{1+x^2}\;$$

y la partición de la unidad de intervalo de

$$\left\{0<\frac1n<\frac2n\ldots<\frac nn=1\right\}\;,\;\;\text{and}\;\;c_k:=\frac kn$$

Answer 4

Sugerencias : Primera mirada en el coeficiente de $\frac{1}{n}$ frente a la expresión dentro del paréntesis. El $1$ en la parte superior de la fracción es $1-0$ donde $1$ $0$ son los puntos extremos del intervalo de $[0,1]$. El $n$ en el inferior sería la longitud de un subinterval de $[0,1]$ cuando la partición de $[0,1]$ a $n$ a partes iguales.

A continuación, buscar en cada uno de los términos dentro de los corchetes. Por ejemplo, $$\frac{1}{1+(\frac{3}{n})^2}$$ sería el valor de la función $\frac{1}{1+x^2}$ al $x$ $3$ veces la longitud de un subinterval de longitud $\frac{1}{n}$ añadido desde el punto de partida $0$.

Puede que ahora la figura que esta es la suma de Riemann había que reconocer ? Cuál es la expresión que realmente representa es una suma de áreas de rectángulos de base $\frac{1}{n}$ y la altura de la $\frac{1}{1+(\frac{i}{n})^2}$. Aquí se enfoque el área bajo la curva de $\frac{1}{1+x^2}$$[0,1]$, teniendo el derecho de puntos extremos de los subintervalos de igual distribuido de la partición.