Son birational morfismos estable en cambio de base a través de una dominante de morfismos

Question

Deje $f: X \to Y$ ser un birational de morfismos de integral de planes e $g: Z \to Y$ un morfismos de integral de los esquemas que los mapas de la genérica punto de $Z$ a los genéricos de punto de $Y$, es decir, los morfismos $g$ es dominante.

Es entonces $X \times_Y Z \to Z$ birational?

Edit: Mis ideas: Indicar el genérico puntos de $X,Y,Z$$\eta_X, \eta_Y, \eta_Z$. A continuación, $f$ induce un isomorfismo $\eta_X = \eta_Y$. Indicar el cambio de base de a$X \times_Y Z \to Z$$f'$. A continuación, $f'$ induce un isomorfismo $g'^*(\eta_X) = \eta_Z$?

Answer 1

Desde $f: X \to Y$ es birational, podemos encontrar algunos subconjuntos $U \subset Y$$V \subset X$, de modo que $f$ restringe a un isomorfismo $f: V \to U$. A continuación, $g: W = g^{-1}(U) \to U$ es todavía dominante (en realidad, el dominio de la $g$ aquí sólo garantiza que $W$ es no vacío para cualquier abierto $U$ podemos necesidad de restringir a).

A continuación, el pullback $V \times_U W \to W$ es un isomorfismo. $V \times_U W$ es un subconjunto abierto de $X \times_Y Z$ y los morfismos es sólo la restricción de que el pullback $X \times_Y Z \to Z$. Así, el retroceso es birational ya que induce un isomorfismo en abrir subconjuntos.