La teoría cuántica de campos desde el punto de vista matemático

Question

Soy un estudiante de matemáticas sin mucha experiencia en física. Estoy interesado en aprender la teoría cuántica de campos desde un punto de vista matemático.

¿Hay algún buen libro u otro material de referencia que pueda ayudar a aprender sobre la teoría cuántica de campos? ¿Con qué áreas de las matemáticas debería estar familiarizado antes de leer sobre la teoría cuántica de campos?

Answer 1

Permítanme añadir un par de cosas a lo que ya se ha mencionado. Creo que la mejor fuente de QFT para los matemáticos son los dos volúmenes de la NIC. Pero como son bastante largos y algunas partes no son fáciles para los matemáticos (yo participé un poco en la redacción de los mismos, y sé que en gran parte fue escrito por gente que en su momento no entendía bien lo que estaban escribiendo), así que si realmente quieres entender el tema de forma matemática, te sugeriría el siguiente orden:

1) Asegúrate de que entiendes bien la mecánica cuántica (hay muchas introducciones matemáticas a la mecánica cuántica; la que me gusta especialmente es el libro de Faddeev y Yakubovsky http://www.amazon.com/Lectures-Mechanics-Mathematics-Students-Mathematical/dp/082184699X )

2) Entender un poco en qué consiste la teoría cuántica de campos (matemáticamente). La fuente que me gusta en este caso son los axiomas de Wightman (como algo que se podría desear en la QFT, pero que casi nunca se cumple), tal como se presentan en el segundo volumen del libro de Reed y Simon sobre análisis funcional; para una discusión un poco más exhaustiva, busque las conferencias de Kazhdan en los volúmenes de la NIC.

3) Entender cómo funciona la teoría de campo conforme bidimensional. Si quieres una introducción más elemental y más analítica (y más "física"), mira las conferencias de Gawedzki en los volúmenes de la IAS. Si quieres algo más algebraico, mira los apuntes de Gaitsgory en el mismo sitio.

4) Estudiar la QFT perturbadora (diagramas de Feynmann): esto está bien cubierto en los volúmenes de la NIC (para un matemático; un físico necesitaría mucha más práctica de la que se hace allí), pero en el lugar no recuerdo exactamente dónde (pero debería ser fácil de encontrar).

5) Intentar comprender cómo funcionan las teorías de campo cuánticas supersimétricas. Este tema es el más difícil para los matemáticos, pero también es la fuente de la mayoría de las aplicaciones a las matemáticas. Esto se discute en las conferencias de Witten en el segundo volumen de la IAS (hay unas 20, creo) y realmente no es fácil - por ejemplo requiere un buen conocimiento de algunos aspectos de la geometría superdiferencial (también discutida allí), que es un tema puramente matemático pero hay muy pocos matemáticos que lo conozcan.

No hay muchos matemáticos que hayan pasado por todo esto, pero si realmente quieres poder hablar con los físicos, creo que es necesario algo como el esquema anterior (por cierto: No he incluido la teoría de cuerdas en mi lista - es un tema extra; hay una buena introducción a ella en las conferencias de D'Hoker en los volúmenes de la IAS).

Edición: Además, si quieres una introducción puramente matemática a la Teoría Topológica de Campos, puedes leer las notas de Segal http://web.archive.org/web/20000901075112/http://www.cgtp.duke.edu/ITP99/segal/ ; ¡esta es una lectura muy accesible (y agradable)! Un enfoque matemático moderno (y técnicamente mucho más difícil) del mismo tema es desarrollado por Jacob Lurie http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf (no hay ninguna motivación física en ese documento, pero matemáticamente esta es probablemente la forma correcta de pensar en las teorías de campo topológicas).

Answer 2

Si eres un matemático y quieres entender la QFT, vas a tener que lidiar con la renormalización tarde o temprano. Tu vida será más fácil si comprendes desde el principio que la filosofía de la "teoría del campo efectivo" de Wilson-Weinberg-etc. es el principio organizador esencial de todo el tema. En particular, vas a necesitar conocerla para tener alguna esperanza de entender la intuición que hay detrás de las construcciones rigurosas existentes de QFT. Por desgracia, las explicaciones de la renormalización en los libros de texto orientados a la física de partículas que los matemáticos suelen consultar en primer lugar no son tan buenas.

Tal vez pueda aportar un poco de motivación, antes de añadirlo a la lista de lecturas recomendadas.

En un sistema con infinitos grados de libertad (como la teoría de campos en un espaciotiempo de dimensión al menos 2), hay que organizar los grados de libertad de alguna manera, antes de poder empezar a hablar de cómo interactúan. En la QFT, a menudo organizamos los grados de libertad preguntando cuán grandes son, en comparación con alguna escala de distancia fija. (La descomposición de Fourier del campo electromagnético es un ejemplo de ello. Pensamos en el campo electromagnético como una suma de ondas sin/cos de varias longitudes de onda). Así que cuando hablamos de una teoría de campo, lo que realmente tenemos en mente es una secuencia de aproximaciones, que comienza con un conjunto de grados de libertad cuya escala característica es comparable a la escala de referencia y luego añade sistemáticamente otros nuevos cuyas escalas características están más alejadas de nuestra escala de referencia.

La idea básica de la filosofía de la teoría del campo efectivo es que, en lugar de pensar que los grados de libertad que utilizamos cerca de la escala de referencia son los que quedan cuando desechamos todos los demás, debemos pensar que estos grados de libertad son una descripción "efectiva" aproximada del sistema que obtenemos por promediando esos otros grados de libertad. Si se adopta este punto de vista, se encontrará con frecuencia que los grados de libertad en la escala de referencia se parecen a los que habríamos obtenido ignorando ciegamente los grados de libertad de menor distancia, y sus interacciones tienen la misma forma básica, excepto que las constantes de acoplamiento son todas diferentes. El procedimiento de renormalización que aparece en toda la QFT se ocupa de calcular cómo se determinan las interacciones entre los grados de libertad a la escala de referencia en términos de las interacciones entre los grados de libertad apropiados para la distancia más corta, en particular para averiguar qué interacciones se hacen más fuertes y cuáles más débiles.

Esta filosofía tiene sus orígenes en la mecánica estadística, la tercera pata del taburete de la QFT, a menudo olvidada. (La integral de trayectoria de la QFT está estrechamente relacionada con los cálculos de la función de partición que aparecen en la mecánica estadística de los sistemas de campo). Si se quiere entender la QFT, hay que estudiar la QM, la relatividad y la mecánica estadística. La mecánica estadística no es realmente opcional.

Algunas referencias:

• El libro de Tim Hollowood "Cutoffs & Continuum Limits: A Wilsonian Approach to Field Theory" es una excelente introducción.

• Kerson Huang's Mecánica estadística tiene un buen tratamiento del modelo de Ising, que es más o menos el ejemplo ur del tema.

• Zinn-Justin's QFT y fenómenos críticos trabaja estas ideas con gran detalle.

• David Brydges "Lectures on the Renormalization Group" en el volumen IAS/Park City Mecánica estadística es bastante grande.

• La batalla de "Wavelets & Renormalization" hace un tratamiento exhaustivo y matemáticamente riguroso de la integral de trayectoria euclidiana para la teoría de campos escalares en 3d, muy en el espíritu de la filosofía de la renormalización.

• Glimm & Jaffe's "Física Cuántica: A Functional Integral Point of View" explica gran parte de la maquinaria matemática, como los espacios nucleares y las medidas cilíndricas, que puede utilizarse para hacer matemáticamente precisa la idea de la teoría del campo efectivo, y utiliza esta maquinaria para construir teorías de campo escalar en 2d y demostrar algunos hechos no triviales sobre ellas.

Answer 3

Esta cuestión tiene dos aspectos:

1) ¿Qué fuentes intentan comunicar la habitual historia vaga y especulativa de la física de un modo que los matemáticos puedan apreciar mejor?

2) ¿Qué fuentes intentan dar un tratamiento matemático real de la QFT, algo que esté a la altura de las matemáticas?

En cuanto a la primera, el estudio de Deligne et al. Campos cuánticos y cuerdas es probablemente la mejor respuesta existente hasta la fecha.

Pero también hay mucho que decir sobre la segunda pregunta. En este sentido, se ha avanzado mucho en los últimos años. Este diciembre (2011) aparece un volumen de la AMS que recoge encuestas y artículos originales sobre este tema:

Sati, Schreiber (eds.) Fundamentos matemáticos de la teoría cuántica de campos y de la teoría de cuerdas perturbativa AMS (2011) Actas de los Simposios de Matemática Pura, Volumen: 83 .

La introducción con más enlaces está en arXiv:1109.0955

[Editar: a la vista de la discusión que sigue, debo decir que no me refiero a "vago y especulativo" de forma peyorativa en absoluto. Es sólo un hecho que, desde el punto de vista de las matemáticas, gran parte de la física, ciertamente gran parte de la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas, por muy bien establecida y sólida que sea, es vaga y especulativa. Para hacerse una idea de la verdad de esto, puede ser útil acudir a un matemático puro que esté interesado en aprender sobre el tema, pero que no tenga experiencia en él, y tratar de enseñarle. Así se aprende que muchos textos escritos por físicos que pretenden ser "para matemáticos" no lo son en realidad. Hay una gran distancia entre un físico teórico con conocimientos matemáticos y un matemático puro sin formación en el campo de la física. Muchos físicos no son conscientes de esta distancia].

Answer 4

Moshe ya ha abordado muchos puntos. Puede que le interese la obra de Folland Teoría cuántica de campos: guía turística para matemáticos . Intenta hacer todo lo posible de forma matemáticamente rigurosa, y señala los puntos en los que no se puede hacer.

En cuanto a los antecedentes matemáticos: será conveniente cierta familiaridad con las ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de las distribuciones.

Esto se refiere a la teoría del campo cuántico "convencional". También podría interesarle la teoría cuántica de campos topológica, que tiene un carácter mucho más matemático.

Answer 5

La QFT es un tema enorme, que subyace a gran parte de la física teórica moderna. Creo que, en general, la comunidad de matemáticos se ha interesado por casos especiales y sencillos (por ejemplo, la QFT topológica o racional), por lo que la advertencia habitual sobre el elefante proverbial es muy pertinente en este caso.

Un buen estudio es el curso de un año que se imparte en el IAS para matemáticos, que cubre mucho terreno. Hay un libro de dos volúmenes que es útil no sólo para los matemáticos, y un sitio web: http://www.math.ias.edu/qft . Esto le dará una visión general de los temas centrales, y (dependiendo específicamente de lo que le interese), los antecedentes necesarios.

En cuanto a los intentos de formalizar la QFT general, hay muchos. Dado que en el tratamiento moderno (posterior a Wlison) del tema, las propiedades definitorias de la QFT tienen todas que ver con el proceso de renormalización, he formulado una pregunta al respecto aquí Formalización de la teoría cuántica de campos Las respuestas pueden darle una idea de lo que hay en ese frente.