Soy un estudiante de matemáticas sin mucha experiencia en física. Estoy interesado en aprender la teoría cuántica de campos desde un punto de vista matemático.
¿Hay algún buen libro u otro material de referencia que pueda ayudar a aprender sobre la teoría cuántica de campos? ¿Con qué áreas de las matemáticas debería estar familiarizado antes de leer sobre la teoría cuántica de campos?
Además de estas magníficas respuestas, me gustaría recomendar los libros,
El primer libro desarrolla algunos de los análisis necesarios para las CFT (capítulo 8), así como la teoría de las compactificaciones conformes (capítulos 1 y 2) y la teoría de las álgebras de Witt y Virosoro (capítulos 4-6). El libro termina con una discusión de las reglas de fusión y de cómo construir formalmente una CFT (partiendo de algo análogo a los axiomas de Wightman). Creo que Schottenloher es un analista, por lo que se puede obtener una sensación más analítica [léase: conocer algo de análisis funcional y teoría de la representación básica] de este libro.
El segundo libro está escrito desde la perspectiva de alguien que es un analista funcional con una fuerte formación en teoría de la representación. Los dos primeros capítulos dan una introducción matemática decente a la QFT, así como algunos de los resultados más teóricos de la representación que uno podría encontrar interesantes. El autor también introduce algo de la geometría algebraica que uno podría encontrar en un análisis formal de la QFT (que, por supuesto, se dilucida en todo su esplendor en Campos cuánticos y cuerdas .
El tercer libro es de una escuela de verano para ambos estudiantes de posgrado de matemáticas y física. Como tal, introduce una gran variedad de temas y proporciona una introducción algo formal a la QFT.
Por último, los apuntes de la clase de Leonard Gross sobre Teoría Cuántica de Campos son una buena introducción formal para matemáticos con a) formación en análisis y b) sin más física que la mecánica clásica. Es un conjunto de apuntes fácil de leer con buenas referencias históricas. Aunque he estudiado tanto física como matemáticas, estos apuntes son mi referencia favorita para la QFT (quizás porque prefiero el análisis y la geometría diferencial al álgebra y la geometría algebraica).
Esto pretendía ser un comentario, no una respuesta, pero no tengo suficiente reputación. Básicamente, hice un máster en matemáticas (matemáticas puras), luego un máster en física (QFT), y luego un doctorado en matemáticas (puro, cosas de geometría algebraica). Por lo tanto, tuve que lidiar con el problema que estás tratando de resolver. Creo que será difícil obtener una buena respuesta ya que no especificas por qué razón quieres aprender QFT. Algunos comentarios entonces:
Si vas a trabajar en cosas como las ecuaciones de Seiberg-Witten desde una perspectiva matemática, entonces supongo que el libro de Báez y Muniain llamaron a Campos Gauge, Nudos y Gravedad (mencionado por Bob Jones más arriba) es genial ya que no necesitarás cuantizar las cosas de todos modos.
Si realmente quieres tener una comprensión del tema que incluya la perspectiva de la física (que es lo que yo intenté hacer), entonces te sugiero que desarrolles algunos conocimientos de física. Así, sugiero leer el libro de Sakurai en mecánica cuántica (que, desde mi formación matemática pura de la época, era un buen libro), junto con libros que son para los profanos: El QED de Feynman y El descubrimiento de las partículas subatómicas de Weinberg . Utilicé estos libros con Introducción a la teoría cuántica de campos, de Peskin y Schroeder .
En realidad, intenté seguir al mismo tiempo un enfoque más "matemáticamente preciso" de la QFT -pero al final pensé que era más difícil que el enfoque de la física- porque, creo, acabas gastando una enorme cantidad de tiempo para llegar a algún sitio, y te arriesgas a quedar enterrado en un montón de formalismos matemáticos antes de ser capaz de hacer cálculos sencillos.
Un último comentario. Según mi experiencia, fue muy provechoso hablar con físicos (suelen ser más charlatanes y contar más historias sobre su materia que los matemáticos). Por lo tanto, creo que es muy provechoso rodearse de un grupo de estudiantes/profesores de física mientras se estudia QFT.
Si buscas algo más fácil y pedagógico, deberías echar un vistazo al maravilloso libro de Báez y Muniain titulado Campos galvánicos, nudos y gravedad . Este libro desarrolla el formalismo matemático de la teoría gauge de forma amena y entretenida, y su lectura requiere muy pocos antecedentes. Si quieres aprender sobre los aspectos físicos de la teoría cuántica de campos, quizás quieras buscar en otra parte, pero este libro ofrece una introducción matemática completamente autónoma a la teoría de Chern-Simons, una teoría cuántica de campos con importantes aplicaciones en matemáticas puras.
Otro libro muy amigable sobre la teoría cuántica de campos para los matemáticos es Álgebras de Frobenius y teorías cuánticas de campo 2D por J. Kock. Es un buen punto de partida si se quiere estudiar el reciente trabajo de Jacob Lurie sobre la clasificación de las teorías cuánticas de campo topológicas. El único problema de este libro es que no dice mucho sobre cómo se utilizan las teorías cuánticas de campos para calcular invariantes de espacios topológicos. Por lo tanto, creo que lo mejor es complementar este libro con algo más, tal vez el artículo clásico de Atiyah.
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Kevin Costello El matemático ha escrito un libro sobre la teoría cuántica de campos, en particular sobre los aspectos perturbativos. El libro estaba disponible en su página web, pero ahora ha sido publicado por la AMS. Puedes encontrar los enlaces en su página web a la que he enlazado anteriormente.
E. Zeidler está escribiendo un tratado de 6 volúmenes bajo el título general "Quantum Field Theory: Un puente entre matemáticos y físicos". Hasta ahora han aparecido 3 volúmenes, que están disponibles también en springerlink.com (si se tiene la suscripción adecuada). Esta obra es bastante accesible para un matemático.
Una excelente introducción a las matemáticas de la QFT que es realmente un libro de texto (que puede servir, por ejemplo, como material de apoyo en un curso de posgrado de 1º o 2º año de matemáticas) es "Mecánica cuántica y teoría cuántica de campos, un manual matemático", por Jonathan Dimock , Cambridge University Press, 2011.
Para la supersimetría (que, como bien dijo Alexander Braverman, es lo más importante para las aplicaciones matemáticas), el libro de Dan Freed ["Five Lectures on Supersymmetry"][3].
Teoría Cuántica de Campos (Encuestas y Monografías Matemáticas) por Folland
El camino a la realidad: una guía completa de las leyes del universo
Mecánica Cuántica y Teoría Cuántica de Campos: A Mathematical Primer
Aspectos matemáticos de la teoría cuántica de campos (Cambridge Studies in Advanced Mathematics
QFT - Por el Prof. C N Yang y el Prof. Kenneth Young ( youtube )
Enlaces de intercambio de información sobre física:
Como matemático aficionado, encontré el libro de Franz Mandl y Graham Shaw Teoría Cuántica de Campos una introducción rápida y concisa. Sin embargo, es necesario haber estudiado previamente algo de Mecánica Cuántica. El libro me fue recomendado originalmente.
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Antes de estudiar la QFT propiamente dicha, recomendaría al menos sentirse cómodo con la relatividad especial y la mecánica cuántica. Siendo yo mismo un estudiante de matemáticas, comprendo lo frustrante que puede ser aprender física de un físico, pero a fin de cuentas, hará que el aprendizaje de la QFT (o de cualquier tema de la física, para el caso) sea mucho más fácil si entiendes el significado físico del tema y por qué estás haciendo lo que estás haciendo. En cualquier caso, sin duda mejorará tu apreciación del tema.
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Una gran pregunta sobre un tema muy similar en MO: mathoverflow.net/q/57656