Esta es una generalización de esta pregunta. Así, en $\mathbb{R}^2$, el problema se ilustra así:
Aquí, $n = 3$ líneas divide $\mathbb{R}^2$ a $N_2=7$ regiones. Para general $n$ en el caso de $\mathbb{R}^2$, el número de regiones $N_2$$\binom{n+1}{2}+1$. Pero ¿qué pasa si tenemos en cuenta el caso de $\mathbb{R}^m$, particiones mediante $n$ hyperplanes?
Es la respuesta $N_m$$\binom{n+1}{2}+1$, o va a ser una función de la $m$?
Sugerencia: Vamos a considerar cómo demostrar que en $\mathbb{R}^2$, el número máximo de distintas regiones del es $\frac { n^2 + n + 2 } { 2} $.
En primer lugar, puesto que hay un número finito de líneas, se puede inclinar en cualquier configuración que no hay ninguna línea es paralela a la horizontal. Ahora, vamos a considerar el 'inferior' punto de cualquier región.
Si la región está ligada a continuación, que tal punto no existe, es único, y es un punto de intersección de 2 líneas. De hecho, existe una relación entre las regiones que están delimitadas por debajo, y estos puntos de las intersecciones, lo que nos da $ { n \choose 2 } = \frac{n^2-n} {2} $ regiones.
¿Qué pasa si las regiones no están delimitadas por debajo? ¿Cuántos hay? Bueno, vamos a simplemente insertar una línea horizontal camino abajo, y contar el número ilimitado de las regiones, asociándolos a estas nuevas regiones delimitadas. Ahora, vamos a considerar la " más baja, más a la izquierda del punto de cualquier región. Si la región está vinculado a la izquierda, a continuación, como un punto debe existir, es único, y es nombrar de intersección de la original $n$ líneas con la nueva línea horizontal. De hecho, existe una relación entre las regiones que están sin límites de abajo, limitada a la izquierda, y estos puntos de las intersecciones, lo que nos da ${n \choose 1} = n$ regiones.
Por último, cómo muchas de las regiones no están delimitadas por debajo, y no limitada a la izquierda? Debe convencerse de que no es ${n \choose 0} = 1 $ regiones.
Por lo tanto, el número total de maneras en que se ${n \choose 2} + {n\choose 1} + {n \choose 0}$.
Ahora, usted puede ver fácilmente cómo esto muestra que el número de regiones para la hyperplane versión de su problema es $$\sum_{i=0}^m {n \choose i}. $$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
