Describir un determinado cociente que involucraba a un sub-anillo de $\mathbb{Q}[x]$

Question

Tuve que hacer algunas tareas de los problemas que implican el polinomio anillo de $R=\mathbb{Z}+x\,\mathbb{Q}[x]\subset\mathbb{Q}[x]$. Esta es una parte integral de dominio, pero no una unidad flash usb. Además, $x$ no es primo en $R$.

Uno de los problemas era el de describir a $R/(x)$.

Desde $x$ no es un primer elemento, sabemos $(x)$ no es un alojamiento ideal. Así, al menos, $R/(x)$ no es una integral de dominio.... pero, ¿qué más puedo decir? Este es tal vez algo que no debe admitir, pero los problemas de esta forma siempre han confundido mí. Sé que no hay una "respuesta" que está buscando, pero yo nunca sé muy bien qué decir.

De todos modos, esta tarea se ha presentado ya, así que no estoy incluyendo a la tarea de la etiqueta. Yo sólo soy curioso cómo describiría este particular cociente.

Answer 1

La clave es entender lo que el ideal de la $(x)$ se ve como en el primer lugar. Entonces, es evidente que todos los polinomios en la que los ideales tienen un grado al menos 1, pero, ¿qué grado 1 polinomios puede ocurrir? Para $f(x)*x$ a tiene grado 1, $f(x)$ debe tener un valor distinto de cero término constante. Término debe ser, en $\mathbb{Z}$, y es fácil de ver que conseguir cualquier coeficientes de mayor grado. Por lo $(x)=\mathbb{Z}x + \mathbb{Q}x^2+\ldots+\mathbb{Q}x^n+\ldots$.

Por lo tanto, en el cociente, en cualquier coset está representado por algunos $n + ax$, $n\in \mathbb{Z},a\in \mathbb{Q}$, y otro elemento $m+bx$ representa un coset si y sólo si $n\neq m$ o $a-b\notin\mathbb{Z}$. En otras palabras, el cociente es isomorfo a $\left(\mathbb{Z} + \mathbb{Q}/\mathbb{Z}x\right)/(x^2).$