Las funciones de la familia la satisfacción de $ \lim_{n\to\infty} n \int_0^1 x^n f(x) = f(1)$

Question

Me pregunto qué tipo de funciones a satisfacer

$$ \lim_{n\to\infty} n \int_0^1 x^n f(x) = f(1)$$ Supongo que todas las funciones deben ser continuos.

Answer 1

La ecuación puede escribirse como $$\lim_{n \to \infty} (n+1) \int_0^1 x^n (f(x) - f(1))\ dx = 0 $$ (Prefiero usar el $n+1$$n$, debido a $(n+1) \int_0^1 x^n \ dx = 1$)

Tenga en cuenta que como $n \to \infty$, $(n+1) x^n \to 0$ de manera uniforme en $[0,1-\delta]$ cualquier $\delta > 0$, lo que implica que $(n+1) \int_0^{1-\delta} x^n (f(x) - f(1))\ dx \to 0$ cualquier $f$ que es integrable en a $[0,1]$. Por otro lado, si $f$ es continua por la izquierda en $1$, para cualquier $\epsilon > 0$ hay $\delta > 0$ tal que $|f(x) - f(1)| < \epsilon$$x \in [1-\delta, 1]$, y, a continuación, $$\left|(n+1) \int_{1-\delta}^1 x^n (f(x) - f(1))\ dx\right| < \epsilon (n+1) \int_{1-\delta}^1 x^n\ dx < \epsilon$$ Por lo que su ecuación es verdadera para las funciones que son integrables en $[0,1]$ y continua por la izquierda en $1$. Sin embargo, esta es sólo una condición suficiente, que sin duda podría ser debilitado. Dudo que no es una simple condición necesaria y suficiente.

Tenga en cuenta también que $(n+1) x^n < -1/(e x \ln(x))$, de manera que la ecuación también es cierto si $(f(x) - f(1))/(x \ln(x))$ es integrable en a $[1-\delta,1]$ algunos $\delta > 0$. Para un ejemplo de que no es continua por la izquierda en $1$, tomar el indicador de la función de la unión de los intervalos de $J_k = [1-2^{-k}-3^{-k}, 1-2^{-k}]$ para enteros positivos $k$.

Answer 2

La ecuación es verdadera para cualquier función integrable $f$$[0,1]$, de modo que $1$ es un punto de Lebesgue de $f$, en el sentido de que $\lim_{y\to1}\bar f(y)=f(1)$ donde $$\bar f(y)=\frac1{1-y}\int_y^1 f(y)\,dy.$$ De hecho, el uso de $x^n=(n+1)\int_0^x y^n\,dx$ en la integral y intercambiando el orden de integración, nos encontramos con que después de un poco de cálculo de $$n\int_0^1x^nf(x)\,dx=n(n+1)\int_0^1(1-y)y^{n+1}\bar f(y)\,dy,$$ en el que nos damos cuenta de que $n(n+1)(1-y)y^{n+1}$ es un delta de la secuencia, en este caso la convergencia a la función delta de a $y=1$.

Tomando nota de que $\bar f$ es continua en a $[0,1)$, y puede ser extendida de forma continua a $[0,1]$ al $1$ es un punto de Lebesgue de $f$, completa la prueba.

Answer 3

Ciertamente, todas las funciones continuas hacer satisfacen esta propiedad. Pero creo que tendremos que ver si hay clases de funciones que no son continuas sino que satisfacen esta propiedad.

Para mostrar que las funciones continuas satisfacer esto, vamos a utilizar la conocida Piedra Teorema de Weierstrass (SWT) que indica que, para cualquier función continua $f:[a,b] \to \mathbb{R} $ , existe una secuencia de polinomios que convergen uniformemente a $f$.

Definir, $$n \int_0^1 x^n f(x)dx=L_n(f)$$

A continuación,$L_n(x^k) = \ n \int_0^1 x^n x^k dx= \frac{n}{n+k+1} $ $\lim_{n\to\infty} L_n(x^k)=1$ para todos los enteros no negativos $k$.

Ahora si $P(x)$ es un polinomio arbitrario, a continuación, desde arriba se deduce que $\lim_{n\to\infty} L_n(P)=P(1)$

Deje $\epsilon>0.$ Dada una función continua $f$ y un polinomio $P$ tenemos que $$|L_n(f)-L_n(P)| \leq L_n(|f-P|) \leq L_n( \epsilon/3)=\epsilon/3$$ provided that $d(f,P) \leq \epsilon/3$ and indeed by the SWT we can choose such a polynomial $P$

Y también existen $N \in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n > N, |L_n(P)-P(1)|<\epsilon/3$

Ahora para un $n$,

$$|L_n(f)-f(1)| \leq|L_n(f)-L_n(P)|+|L_n(P)-P(1)|+|P(1)-f(1)|<\epsilon$$

Esto demuestra que $\lim_{n\to\infty}L_n(f)=f(1)$ para todas las funciones continuas.