Encontrar el valor de $\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{1/2}\ldots(2)^{1/n}$

Question

Encontrar el valor de
$$\lim_{n\to \infty}\bigg(1+\dfrac{1}{n}\bigg)\bigg(1+\dfrac{2}{n}\bigg)^{\frac12}\ldots(2)^{\frac{1}{n}}$$

Mi trabajo:
$\bigg(1+\dfrac{1}{n}\bigg)=\bigg\{\bigg(1+\dfrac{1}{n}\bigg)^n\bigg\}^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}}$
$\bigg(1+\dfrac{2}{n}\bigg)^{\frac12}=\bigg\{\bigg(1+\dfrac{2}{n}\bigg)^{\frac{n}{2}}\bigg\}^{\frac{1}{n}}=e^{2\cdot\frac12\cdot\frac{1}{n}}=e^\frac{1}{n}$
$~~~~~~~~~~~~\vdots$
$~~~~~~~~~~~~\vdots$
$\bigg(1+\dfrac{n}{n}\bigg)^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}}$
Por eso, $L=e$
Pero, la respuesta dice $L=e^{\frac{\pi^2}{12}}$.
No sé donde estoy pasando mal, es la respuesta de un error tipográfico o estoy haciendo mal. Por favor, ayudar.

Answer 1

Deje $x$ ser el valor del límite .Tome $\log(x)$ para obtener $$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{1}{i/n}\log(1+i/n)\cdot\frac{1}{n}$$ which is equal to $\int_0^1 \frac{\log(1+x)}{x}\mathrm{d}x$ which is $\pi ^2/12.$

Answer 2

Este parece ser el razonamiento en su argumento $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac kn\right)^{1/k} &=\lim_{n\to\infty}\left(\prod_{k=1}^n\left(1+\frac kn\right)^{n/k}\right)^{1/n}\tag{1}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\prod_{k=1}^n\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac kn\right)^{n/k}\right]\right)^{1/n}\tag{2}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\prod_{k=1}^n\ e\right)^{1/n}\tag{3}\\[12pt] &=\ e\tag{4} \end{align} $$ Todos los pasos están bien, excepto $(2)$. No es, en general, les permite tomar el límite de una parte interna como eso. Por ejemplo, considere la posibilidad de $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(\frac1n\cdot n\right) &=\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty}\left[\frac1n\right] n\right)\tag{5}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(0\cdot n\right)\tag{6}\\[3pt] &=\lim_{n\to\infty}\ 0\tag{7}\\[2pt] &=\ 0\tag{8} \end{align} $$ Paso $(5)$ es lo mismo que paso $(2)$, pero que de paso nos permite mostrar que el $1=0$.

Para ver por qué esto afecta a su límite negativamente, aviso que no importa que tan grande $n$ obtiene en el límite, cuando $k$ es cerca de $n$, $\left(1+\frac kn\right)^{n/k}$ está cerca de a $2$, no $e$. Por lo tanto, los términos de que el producto se entre $2$$e$. No todos ellos tienden a $e$.

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Lo que tenemos que hacer es utilizar la continuidad de $\log(x)$ viplov_jain sugiere. $$ \begin{align} \log\left(\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac kn\right)^{1/k}\right) &=\lim_{n\to\infty}\log\left(\prod_{k=1}^n\left(1+\frac kn\right)^{1/k}\right)\tag{9}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1k\log\left(1+\frac kn\right)\tag{10}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac nk\log\left(1+\frac kn\right)\frac1n\tag{11}\\ &=\int_0^1\frac1x\log(1+x)\,\mathrm{d}x\tag{12}\\ &=\int_0^1\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^k}{k+1}\,\mathrm{d}x\tag{13}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\tag{14}\\ &=\frac{\pi^2}{12}\tag{15} \end{align} $$ Paso $(12)$ utiliza la idea de la aproximación de una Suma de Riemann por una integral. $(15)$ nos dice que $$ \lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac kn\right)^{1/k}=e^{\pi^2/12}\etiqueta{16} $$ Observe que $$ 2\lt2.27610815162573\doteq e^{\pi^2/12}\lt e\etiqueta{17} $$