¿Por qué cada estado de la evolución de un tiempo infinito se convierte en el estado del suelo en QFT?

Question

Para cualquier estado $|\phi \rangle $ evolución de un tiempo infinito $$\lim\limits_{t\rightarrow \infty} e^{-iHt}|\phi\rangle=\lim\limits_{t\rightarrow \infty} e^{-iHt}|n\rangle\langle n|\phi\rangle$$ Deje $t\rightarrow t(1-i\eta)$ , sólo el de menor energía eigenstate en $|\phi\rangle$ sobrevive. Por lo tanto $$\lim\limits_{t\rightarrow \infty} e^{-iHt}|\phi\rangle=\lim\limits_{t\rightarrow \infty} e^{-iHt}|n\rangle\langle n|\phi\rangle\propto |m\rangle$$ donde $|m\rangle$ es el más bajo de energía más baja eigenstate en $|\phi\rangle$. Para los estados generales que han estado evolucionando de un tiempo infinito, todos se convierten en el estado fundamental.

¿Cuál es el físico y matemático significado de esta operación de introducir artificialmente esta pequeña caries?

Este resultado es tan raro y siempre se usa en qft. ¿Cómo ha podido suceder?

Por ejemplo, supongamos $|\phi\rangle =\alpha |E_0\rangle+\beta|E_1\rangle$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$, entonces para cualquier momento la probabilidad de que el estado$|\phi\rangle$$|E_1\rangle$$|\beta|^2$. Se contradice con el resultado anterior. Entonces, ¿cómo resolver este rompecabezas?

Answer 1

Creo que, a partir de la forma en que se formuló la pregunta, se pierde el contexto de este truco, y luego de que en realidad no tiene mucho sentido. El punto es que en QFT, desea calcular las cantidades correspondientes a la completa interacción de Hamilton, $H$. En la práctica, sin embargo, sólo sabemos que los autoestados del Hamiltoniano libre $H_{0}$: las ondas planas $|k\rangle=exp(-ikx)$ (sin tomar en cuenta giro).

Lo bueno es que para la mayoría de los cálculos (en la final, queremos saber de las secciones transversales de ciertos procesos) es suficiente para conocer las funciones de Green de la teoría de la $G(x-y)=\langle\Omega|T\phi(x)\phi(y)|\Omega\rangle$. Estas funciones se definen como el campo de los operadores de sandwished " entre el estado fundamental de la totalidad de Hamilton. Y nosotros, de hecho, puede escribir en función de nuestro avión espectro de la onda!

De hecho, vamos a tratar de evolucionar el estado del suelo de la libre Hamiltonianos $|0\rangle$ en el tiempo, utilizando el máximo de Hamilton $H$. Entonces tenemos: $$e^{-iHT}|0\rangle=?$$ We can now fill in the energy spectrum (that we don't know!) of the full Hamiltonian: $H|n\rangle=E_{n}|n\rangle$: $$e^{-iHT}|0\rangle=e^{-iHT}\Sigma_{n}|n\rangle\langle n|0\rangle=\Sigma_{n}e^{-iE_{n}T}|n\rangle \langle n|0\rangle.$$ El estado del suelo de $H$, que se denota como $|\Omega\rangle$, - que queremos obtener -- ahora se puede extraer utilizando el truco descrito: $$e^{-iHT}|0\rangle=e^{-iE_{0}T}|\Omega\rangle \langle \Omega|0\rangle+\Sigma_{n\neq0}e^{-iE_{n}T}|n\rangle \langle n|0\rangle$$ $$|\Omega\rangle=\mathrm{lim}_{T\rightarrow\infty(1-i\epsilon)}(e^{-iE_{0}T}\langle\Omega|0\rangle)^{-1}e^{-iHT}|0\rangle$$

No hay nada esoterical acerca de esto, nadie dijo que el tiempo es imaginario, la única declaración que se hace es que esta relación entre el vacío del estado de $H$: $|\Omega\rangle$ y el vacío de estado de $H_{0}$: $|0\rangle$, es correcto y puede ser explotada posteriormente. En efecto, si la interacción es pequeña, la de Dirac o interacción de la imagen puede ser utilizado, y encontramos una expresión para la función de Green sólo en términos de cosas que podemos calcular (los diagramas de Feynman!) (observar que los factores desconocidos $(e^{-iE_{0}T}\langle\Omega|0\rangle)^{-1}$) han desaparecido: $$\langle\Omega|T\phi(x)\phi(y)|\Omega\rangle=\mathrm{lim}_{T\rightarrow\infty(1-i\epsilon)}\frac{\langle 0 |T\phi_{I}(x)\phi_{I}(y)e^{-i\int dt H_{I}(t)}|0\rangle}{\langle 0 |Te^{-i\int dt H_{I}(t)}|0\rangle}.$$

Esto lo aprendí de Peskin & Schroeder, así que para una respuesta más completa, véase su libro "Una introducción a la teoría cuántica de campos", de 1995, Westview Press, p 86.

Answer 2

En QFT no es para bajar a la tierra del estado, pero para elegir una correcta propagador (entre la variedad de la función de Green). En otras palabras, se trata de aplicar o tomar en cuenta las condiciones de frontera.

Sin embargo, para "incompleta" de los sistemas, la descomposición puede realmente significar llegar a la planta del estado debido a la interacción de algún tipo como irreversible de la absorción de excitaciones por el medio ambiente.

Answer 3

Su argumento es válido para unitaria de la evolución. Sin embargo, convirtiendo el tiempo en el plano complejo se puede hacer es no-unitaria.

Usted puede decir que usted introducir pequeñas caries por cada estado $$e^{-iHt}=e^{-iHt-\eta Ht}$$ con la planta de energía del estado de la más lenta a la caries (estable si se establece $E_0=0$)