impedimento matrimonial impediente

Question

Sea $f$ $L^{1}(\mathbb{R})$, $\mathbb{R}$ los números verdaderos. Mostrar que para cada $\varepsilon > 0$ allí existe $A \subseteq R$, mensurable, que $m(A) < \infty$, $f$ limita en $A$ y $ \int_{\mathbb{R}} |f| < \int_{A} |f| + \varepsilon$.

Si tomamos $A$ como el soporte de la función simple que se aproxima a $f$ en la $L^{1}$ norma entonces esto tiene medida finita y satisface las demás condiciones. Pero no veo por qué debe delimitarse $f$ en él. ¿Alguna idea?

Gracias.

Answer 1

Puede hacer esto como "$2\epsilon$-prueba" (o $\epsilon/2$ si lo prefiere). En primer lugar, ya que converge la $(\int_{-n}^n|f|)_{n=1}^\infty$ $\int_{\mathbb{R}}|f|$, hay un $n$ tal que $\int_{\mathbb{R}}|f|\lt\int_{-n}^n|f|+\epsilon/2$. Entonces, ya que converge la $(\int_{-n}^n|f|\cdot\chi_{\{|f|\leq m\}})_{m=1}^\infty$ $\int_{-n}^n|f|$, hay un $m$ tal que $\int_{-n}^n|f|\lt\int_{-n}^n|f|\cdot\chi_{\{|f|\leq m\}}+\epsilon/2$. Tomar el $A=[-n,n]\cap\{x:|f(x)|\leq m\}$.

En lugar de usar funciones simples para mostrar esto, que usaría esto como un primer paso para demostrar que $f$ se puede aproximar por funciones simples, porque ahora el $f$ se puede aproximar uniformemente por funciones simples en $A$.

Answer 2

$|f|I_{|f|\leq n} $ aumenta a $|f|I_{|f| < \infty} = |f|$ (.e.) como $f$$L^{1}(\mathcal{R})$, el resultado se sigue del teorema de convergencia monótona.

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