La existencia del límite de

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. El siguiente límite existe para todas las $x \in \mathbb{R}$: $$\lim_{n\to ∞} f(nx) ,$$

donde $n \in \mathbb N$. Es correcto que: $$\lim_{x\to ∞} f(x) ,$$ existe si:

a) $f$ cualquier función,

b) $f$ continua en $\mathbb{R}$.

Answer 1

Un contraejemplo ya ha sido proporcionada en respuesta a (a). Voy a responder (b) en la afirmativa. La solución, que se basa en la Categoría de Baire Teorema, es una extensión de mi respuesta a esta pregunta desde hace un tiempo, que es similar, pero hace que el útil supuesto de que los límites de $\lim_{n\to\infty}f(nx)$ son todos cero. Hay, sin embargo, completamente diferente a la solución dada en los Problemas Seleccionados de Análisis Real por Makarov et al.-que no hace uso de la Categoría de Baire Teorema, pero en su lugar se basa en un lema: Si $G_1$ $G_2$ son ilimitados abierto pone en $\mathbb R^+$, entonces no es un número $x_0$ tal que $nx_0\in G_i$ para infinidad de $n$. La prueba emplea el Cantor del teorema de la intersección. Los enlaces del libro se puede encontrar en la otra pregunta que he mencionado.

De todos modos, aquí está mi propia prueba. Fix $\epsilon > 0$ y definir $$ E_N = \left\{x: |f(nx)-f(mx)|\leq \epsilon\text{ para todo }n,m\geq N\right\}. $$ Los conjuntos de $E_N$ están cerrados (escribir $E_N$ como la intersección $n,m\geq N$ de los conjuntos de $\{x:|f(nx)-f(mx)|\leq\epsilon\}$, que se cierran por la continuidad de $x\mapsto |f(nx)-f(mx)|$). Pero también se $[0,\infty)\subset\bigcup_NE_N$, por lo que la Categoría de Baire Teorema proporciona un intervalo abierto no vacío $(a,b)\subset \mathbb R^+$ y un entero $N$ tal que $(a,b)\subset E_N$. Esto significa que si $x\in(na,nb)$ algunos $n\geq N$, $|f(x)-f(mx)|\leq\epsilon$ todos los $m\in \mathbb N$.

Elija $M'\geq N$, de modo que \begin{align*} (M'a,\infty)=\bigcup_{n\geq M'}{(na,nb)}; \end{align*} cualquier $M$ más grande que la de $a/(b-a)$ será suficiente. Por lo tanto, la escritura $M = M'a$, \begin{align*} \text{%#%#% for all %#%#% and %#%#%.}\tag{1} \end{align*}

A continuación definimos $|f(x)-f(mx)|\leq\epsilon\,$. Queremos mostrar que $\,x>M$ es constante. Si $m\in \mathbb N$ es un entero positivo, entonces $g(x)=\lim_{n\to\infty}{f(nx)}$ es una larga de $g$, y desde la última secuencia converge a $m$, la ex hace así. Por lo tanto $\{f(nmx)\}_{n=1}^{\infty}$ para todos los enteros $\{f(nx)\}_{n=1}^{\infty}$$g(x)$. De ello se sigue sustituyendo $g(x)=g(mx)$ $m\in \mathbb N$ que $x>0$ y, a continuación, que $x$ siempre $x/m$ es racional. Por lo tanto, como veremos, es suficiente para demostrar que $g(x/m) = g(x)$ al $g(x) = g(rx)$ $r$ son muy grandes y muy cerca uno del otro.

Haciendo $g(x) = g(y)$ $x$ da \begin{align*} \text{%#%#% for all %#%#%.}\tag{2} \end{align*} Ahora coger $y$ arbitrariamente. A continuación, para todos los números racionales $m\to\infty$ $(1)$ que $|f(x)-g(x)|\leq\epsilon\,$ $\,x>M$ son más grandes que las $x,y>0$, se desprende $r$ y el triángulo de la desigualdad que \begin{align*} |g(x) - g(y)| & = |g(rx) - g(sy)| \\ & = |g(rx) - f(rx) + f(rx) - f(sy) + f(sy) - g(sy)| \\ &\leq 2\epsilon + |f(rx)-f(sy)|. \end{align*} La fijación de $s$ y fabricación de $rx$ a través de $sy$, por ejemplo, se muestra a continuación, que $Ma$; por supuesto, $(2)$, $s$, y $r\to sy/x$ son arbitrarias y por lo $\mathbb Q$ es constante, decir $|g(x) - g(y)|\leq 2\epsilon$.

Finalmente, $\epsilon$ muestra que $x$$y$, de ahí que el límite existe.

Answer 2

Sugerencia: Si $f(x)=1$ sobre racionales y $0$ lo contrario, entonces para cualquier $x\in\Bbb R$, $\lim_{n\to\infty} f(nx)$ existe. ¿Qué acerca de la $\lim_{x\to\infty} f(x)$?

Qué cambia si $f(x)$ es continua?

Answer 3

Mi respuesta no hace uso del Teorema de Baire, sin embargo, no se contiene, inevitablemente, algunos de los ingredientes de su prueba.

Vamos a necesitar el siguiente hecho:

Hecho. Deje $I_n=[a_n,b_n]\subset(0,\infty)$ será cada vez más una secuencia de trivial cerrado intervalos en el sentido de que $$ a_n<b_n<a_{n+1}, \quad \text{para todos los $n\in\mathbb N$}. $$ Entonces el conjunto $$ S=\big\{x\in(0,\infty) : \text{$nx\in \bigcup_{k\in\mathbb N} I_k$ para una infinidad de $n\in\mathbb N$}\big\}, $$ es denso en $(0,\infty)$. En particular, si $\mathbb N=K\cup L$, $|K|=|L|=\aleph_0$ y $K\cap L=\varnothing$, luego $$ S=\big\{x\in(0,\infty) : \text {$mx\in \bigcup_{k\in K} I_k$ $nx\in\bigcup_{\ell\in L} I_\ell$ para una infinidad de $m,n\in\mathbb N$}\big\}, $$ también es denso en $(0,\infty)$.

Vamos a posponer la prueba de este hecho y ver cómo se utiliza.

Paso 1. La función de $\ell(x)=\lim_{n\to\infty}f(nx)$ es constante, es decir, no depende de la $x$.

Suponga que en lugar de $\ell(x_1)\ne\ell(x_2)$$3d=\ell(x_1)-\ell(x_2)>0$. Entonces podríamos encontrar un aumento de la secuencia de trivial cerrado intervalos de $I_n=[a_n,b_n]$, de tal manera que $$ f(x)\ge \ell(x_2)+2d \,\,\,\text {$I_{2n}$} \quad\text{y}\quad f(x)\le \ell(x_2)+d \,\,\,\text {$I_{2n+1}$} \quad\text{para todos los $n$}. $$ Debido a la Hecho de que hubiera un denso conjunto de puntos de $x$ con la propiedad de que para infinidad de $n$ varios $nx$ pertenece a un intervalo de la forma $I_{2k+1}$, y para infinidad de $n$ varios $nx$ pertenece a un intervalo de la forma $I_{2k}$, que a su vez significa que el $\lim_{n\to\infty}f(nx)$ no existe.

Paso 2. El límite de $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existe.

Deje $\ell=\lim_{n\to\infty}f(nx)$. Si el límite no existe, entonces no sería una $varepsilon>0$, tal que para cada a $M>0$ no sería una $x\ge M$, de tal manera que $|f(x)-\ell|\ge\varepsilon$. Como en el Paso 1 nos gustaría ser capaces de definir un aumento de la secuencia de trivial cerrado intervalos de $I_n$, de tal manera que
$$ |f(x)-\ell|<\varepsilon/2 \,\,\,\text {$I_{2n}$} \quad\text{y}\quad |f(x)-\ell|\ge\varepsilon \,\,\,\text {$I_{2n+1}$} \quad\text{para todos los $n$}. $$ Una vez más, debido a la Hecho de que hubiera un denso conjunto de puntos de $x$ con la propiedad que para infinidad de $n$ varios $nx$ pertenece a un intervalo de la forma $I_{2k+1}$, y para infinidad de $n$ varios $nx$ pertenece a un intervalo de la forma $I_{2k}$, que a su vez significa que el $\lim_{n\to\infty}f(nx)$ no existe.

La prueba de la Realidad. Deje $[c,d]\subset(0,\infty)$. Vamos a demostrar que existe una $x\in [c,d]$, que para una infinidad de $n$ varios $nx$ pertenece a un intervalo de la forma $I_k$, $k\in K$, y para infinidad de $n$ varios $nx$ pertenece a un intervalo de la forma$I_\ell$, $\ell\in L$. Esto se basa en la observación de que, si $a_n$ es lo suficientemente grande, entonces $$ [c',d']=\frac{1}{N}[a_n,b_n]\cap[c,d]\quad\text{es un intervalo no trivial}, $$ para $N=\lfloor a_n/d\rfloor+1$. Esto nos permite de forma recursiva definir una secuencia de trivial cerrado intervalos de $J_n=[c_n,d_n]$, donde $[c_0,d_0]=[c,d]$, $[c_1,d_1]=[c',d']$, y pasamos a buscar thev$a_n$'s, de modo que la primera es en el $K$, el siguiente en la $L$, el siguiente en la $K$ y así sucesivamente. En de esta manera tenemos una secuencia de intervalos cerrados $$ J_0\supset J_1\supset\cdots\supset J_n\supset J_{n+1}\supset\cdots. $$ Claramente $S=\bigcap_{n\in\mathbb N} J_n\ne\varnothing$, y para cada una de las $x\in S$, infinitamente muchos múltiplos pertenecen a $I_k$s, $k\in K$, mientras infinitamente muchos múltiplos pertenecen a $I_\ell$s, $\ell\in L$.

Answer 4

Si para todas las $x\in \mathbb{R}$ el límite, $$\lim_{n \to \infty} f(nx)$$ exists. Then in particular, it exists for $x=1$. NO es necesariamente el caso de que $$\lim_{n \to \infty} f(n) = \lim_{x \to \infty} f(x)$$ existe, donde acabamos de cambiar los símbolos en el límite.

Considerar los comentarios de abajo.