Asintótico de la función inversa

Question

Supongamos que elegimos un % constante positivo $c$y que $f_c(x)=\frac12x^2+cx^{3/2}$. Me gustaría obtener una estimación asintótica para la función $f_c^{-1}(x)$ $x\rightarrow\infty$. Supongo que será algo de la forma $f_c^{-1}(x)=\sqrt{2x}+O(g_c(x))$ % función $g_c(x)$de orden menor que $\sqrt x$, pero no estoy seguro de cómo obtener una buena estimación $g_c(x)$.

Answer 1

Puedo proponer este método. Vamos $$ y = \frac{x^2}{2} + cx^{3/2}. $$ $y$ es estrictamente creciente (al $c\ge0$), por lo que la función inversa existe. Y tenemos $y\to\infty$ cuando $x\to\infty$. $x^{3/2}=o(x^2)$, y se inicia correctamente: $$ x\sim\sqrt{2y}. $$ Siguiente paso: $$ x\sim\sqrt{2y}(1+z(y)), $$ donde $z(y) = o(1)$. Volver a poner: $$ y = y(1+z)^2 + c(2y)^{3/4}(1+z)^{3/2}, $$ o $$ y(2z+z^2) + c(2y)^{3/4}(1+z)^{3/2} = 0. $$ Desde $z=o(1)$, podemos escribir $$ y\cdot 2z + c(2y)^{3/4}\left(1+\frac32z\right) = 0, $$ y $$ z = -\frac{2c}{3c+2(2y)^{1/4}}. $$ Por lo tanto $$ x\sim \sqrt{2y}\left(1 -\frac{2c}{3c+2(2y)^{1/4}}\right) $$

Answer 2

Considere la ecuación $$F=\frac12x^2+cx^{3/2}-y$$ and use the first iteration of Newton method starting at $x_0=\sqrt{2y}$. What is obtained is $$x_1=\sqrt{2y}\Big(1-\frac{2 c}{3 c+2 \sqrt[4]{2y} }\Big)$$ lo cual es un aspecto muy cerca de Michael Galuza la respuesta.

El mismo se puede hacer uso de Halley método, pero el resultado sería mucho más complejo.

Para fines de ilustración, nos permiten utilizar $c=10$, $y=10^{10}$; la aproximación conduce a $x=137805.$, mientras que la solución es $x=137758.$

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También podemos hacer otras cosas, como la aplicación de método de Newton un par de veces a la actualización de la solución y, a continuación, expanda el resultado como una serie de Taylor para infinitamente grandes valores de $y$. Parece que la expansión tiende a converger a $$x=(2y)^{1/2}-c(2y)^{1/4}+c^2-\frac {7 c^3}8(2y)^{-1/4}+\frac {5 c^4}8(2y)^{-1/2}-\frac{39 c^5}{128}(2y)^{-3/4}+\cdots$$ which, for the example, gives $137758.4700$ which is the solution for $10$ cifras significativas.

También podríamos construir el más simple Pade approximant en $x=\sqrt{2y}$ y resolver. Esto llevaría a $$x=\frac{3 c^2 \sqrt{z}+12 c z^{3/4}+8 z}{15 c^2+20 c \sqrt[4]{z}+8 \sqrt{z}}$$ where $z=2y$.

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El problema parecía vale la pena para la generalización teniendo en cuenta la ecuación $$F=ax^m+b x^n-y$$ where $m>n>0$, $a>0,b>0$ and infinitely large values of $$y.

La definición de $$x=z \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{1}{m}}$$ $$\alpha=\frac{b }{y}\left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{n}{m}}$$ the equation reduces to $$F=z^m+\alpha z^n-1$$ Using $z_0=1$, repeating Newton iterations for a few times and expanding the result as Taylor series built at $\alpha=0$ gives the following asymptotics $$z=1-\frac{\alpha }{m}+\frac{\alpha ^2 (-m+2 n+1)}{2 m^2}+\frac{\alpha ^3 \left(-2 m^2+9 m n+3 m-9 n^2-6 n-1\right)}{6 m^3}+O\left(\alpha ^4\right)$$

Answer 3

De $f(x) = \frac12x^2+cx^{3/2} = \frac12 x ^ {2} (1 + 2cx ^ {-1/2}) $, $\sqrt{f(x)} = \sqrt{\frac12} x(1 +2cx^{-1/2}) ^ {1/2} = \sqrt{\frac12} x (1 +cx^{-1/2}+O(1/x)) $. Por lo tanto $x = \sqrt{2 f (x)}(1 +2cx^{-1/2}) ^ {-1/2} = f (x) de \sqrt{2} (1 +O(x^{-1/2})) \approx\sqrt{2 f (x)} $.

Poniendo esto en,

$\begin{array}\\ x &\approx\sqrt{2 f(x)}(1 +2c\left(\sqrt{2 f(x)}\right)^{-1/2})^{-1/2}\\ &=\sqrt{2 f(x)}(1 +d(f(x))^{-1/4})^{-1/2} \quad\text{(where } d=c\sqrt{2})\\ &\approx\sqrt{2 f(x)}(1 +(-1/2)d(f(x))^{-1/4}+\frac{(-1/2)(-3/2)}{2}d^2(f(x))^{-1/2}+O(f(x)^{-3/4}))\\ &=\sqrt{2 f(x)} -\frac{d}{\sqrt{2}}(f(x))^{1/4}+\frac{3d^2}{8}+O(f(x)^{-1/4}))\\ &=\sqrt{2 f(x)} -c(f(x))^{1/4}+\frac{3c^2}{4}+O(f(x)^{-1/4})) \end{matriz} $

De todos modos, algo como esto debe ser cierto.

Answer 4

Arce dice

asympt(solve(y = (1/2)*x^2+c*x^(3/2), x), y, 3) assuming c>0;

$$ {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {{y}^{-1}}}}+{\frac {\sqrt [4]{2}c}{\sqrt [4] {{y}^{-1}}}}+O \left( 1 \right) $$ y

asympt(solve(y = (1/2)*x^2+c*x^(3/2), x), y, 3) assuming c::real;

$${\frac {\sqrt {2}{\it signum} \left( c \right) }{\sqrt {{y}^{-1}}}}+{ \frac {\sqrt {\sqrt {2}{\it signum} \left( c \right) }c}{\sqrt [4]{{y} ^{-1}}}}+O \left( 1 \right) $$ y

asympt(solve(y = (1/2)*x^2+c*x^(3/2), x), y, 4) assuming c>0;

$$ {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {{y}^{-1}}}}+{\frac {\sqrt [4]{2}c}{\sqrt [4] {{y}^{-1}}}}+{c}^{2}+{\frac {7\,{2}^{3/4}{c}^{3}\sqrt [4]{{y}^{-1}}}{ 16}}+{\frac {5\,{c}^{4}\sqrt {2}\sqrt {{y}^{-1}}}{16}}+{\frac {39\,{c} ^{5}\sqrt [4]{2} \left( {y}^{-1} \right) ^{3/4}}{256}}+S \left( {y}^{- 1} \right) $$