Deje que $ \mathcal {F}$ ser la colección de funciones que cartografían $X$ a sí mismo. Hay un grupo en $ \mathcal {F}$ es decir, el conjunto de funciones invertibles, $ \mathcal {G}$ (La unidad es la función de identidad, la operación binaria es la composición).
Ahora, dado un grupo $G$ queremos saber si hay un homomorfismo de grupo \begin {ecuación} G \xrightarrow {h} \mathcal {G}. \end {ecuación} Si lo hay, entonces la imagen es un subgrupo en $ \mathcal {G}$ que se comporta como $G$ así que probablemente podamos aprender algo sobre $ \mathcal {G}$ o $X$ de $G$ .
Pero ahora tenemos $h(e)$ es la función de identidad en $X$ . Así $h(e)(x)=x$ para todos $x \in X$ . Además, si $g_i \in G$ Entonces $h(g_1g_2)(x)=h(g_1) \circ h(g_2)(x)$ . Esto se deriva del hecho de que $h$ es un homomorfismo.
En particular, este $h$ define una acción de grupo de $G$ en $X$ . La otra dirección es igual de natural.
Así que para concluir, por medio de una acción de grupo estamos tratando de encontrar un subgrupo de funciones en $X$ que se comporta como un grupo que ya conocíamos. También hay que tener en cuenta que el grupo de funciones invertibles son simetrías de $X$ estamos viendo subgrupos de simetrías de $X$ No es de extrañar que podamos aprender mucho sobre $X$ de las acciones del grupo.
En la práctica, rara vez tomamos $X$ como un conjunto y mira todas las funciones invertibles. A menudo imponemos más estructuras $X$ y sólo miren el conjunto de funciones que respetan estas estructuras. Pero el espíritu permanece.
Para más ejemplos y una exposición mucho más clara, mira en este maravilloso artículo por Gowers.
