Demostrando una operación binaria en $\mathbb{Z}$ da un facilitándole

Question

Deje $x\circ y= x +y-xy, \quad (x,y) \in \mathbb{Z}$

donde $\circ$ es una operación binaria en $\mathbb{Z}$, demuestra que esta es una semigroup.

Mi Trabajo

Para demostrar tenemos que comprobar dos cosas:

• $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo $\circ$

• $\circ$ es asociativa en $\mathbb{Z}$

Para el primero, ya que son sólo la adición, sustracción y multiplicación de números enteros, los resultados serán siempre números enteros. Por lo tanto $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo $\circ$.

Para el segundo, sólo tengo que demostrar que $(x\circ y) \circ z =x\circ(y\circ z)$.

RHS: $(x\circ y) \circ z =(x+y-xy)\circ z= x+y-xy+z-zx-zy+xyz$

LHS: $x\circ(y\circ z)=x\circ (y+z-yz)=x +y-xy+z-zx-zy+xyz$

Por lo tanto RHS$=$LHS.

Por lo tanto, $(\mathbb{Z},\circ)$ es un semigroup.

Es esto correcto? Y es que hay una mejor manera de demostrar que está cerrado?

Answer 1

Tal vez es interesante ver cómo estos ejercicios surgir. Esto también le da una solución práctica: una vez que tenga la configuración general se describe a continuación, no hay realmente nada que demostrar.

Considerar el mapa de $\varphi : \Bbb{Z} \to \Bbb{Z}$$\varphi(x) = 1 - x$.

Tenga en cuenta que $\varphi^{2} = \mathbf{1}_{\Bbb{Z}}$, por lo que el $\varphi$ es bijective, y $$\varphi(x) \varphi(y) = (1 - x) (1 - y) = 1 - x - y + xy = 1 - (x + y - xy) = \varphi(x \circ y),$$ así que $$ x \circ y = \varphi^{-1}(\varphi(x) \varphi(y)). $$
(Ok, sé que $\varphi^{-1} = \varphi$ en este caso en particular.) Por lo $(\Bbb{Z}, \circ)$ es obtenido a través del transporte de la estructura de $(\Bbb{Z}, \cdot)$, y $$ \varphi: (\Bbb{Z}, \circ) \(\Bbb{Z}, \cdot) $$ es un isomorfismo. La estructura de un monoid de $(\Bbb{Z}, \cdot)$ lleva más de a $(\Bbb{Z}, \circ)$ verbatim, que son realmente la verificación de los conocidos axiomas en $(\Bbb{Z}, \cdot)$, sólo indirectamente a través de la $\varphi$. En particular, la identidad de $(\Bbb{Z}, \circ)$ $\varphi^{-1}(1) = 0$ donde $1$ es la identidad de $(\Bbb{Z}, \cdot)$.

Por cierto, este funcionamiento de círculo (o una ligera variación de los mismos) juega un papel importante en la teoría de la Jacobson radical.

Answer 2

Esta estructura como @Cameron confirmado, define un infinito facilitándole $S$. tiene de $S$ $0$ y $1$ como dos elementos idempotentes, desde $0*0=0$ y $1*1=1$ y por lo que no es una banda. Parece que $S$ $0$ tiene su identidad $e$ es decir, para todos los $a\in S$, $a*e=e*a=a$ %. $S$ parece un facilitándole conmutativa, desde %#% $ #%

Answer 3

El método de mostrar cierre es bastante bueno como él consigue, y la prueba de la asociatividad está bien.