Mencionada pregunta. Si mathjax utilicé estaba mal, debería ser: por qué la raíz de x de x alcanza la mayor y en x = e
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Así que usted está pidiendo a maximizar $x^{1/x}$. Vamos a restringir a cabo la atención positiva de la $x$'s porque de lo contrario tenemos que lidiar con números complejos.
Tomando la derivada de esta expresión es a veces complicado. Hay más maneras divertidas para hacer esto, pero usted podría escribir esto como $$ x^{1/x}=e^{(\ln x)/x}. $$ La derivada de esto es $$e^{(\ln x)/x}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\ln x}{x^2}\right).$$ El máximo se produce cuando el derivado se desvanece, es decir, $\ln(x)=1$. Esto sucede cuando $x=e$.
Observar que en $x=e$ el signo de la derivada cambia de positivo a negativo, por lo que este es un máximo local y puesto que es el único cero de la derivada, es el máximo global.
Un bono: una forma divertida de tomar la derivada de $x^{1/x}$. Una manera de hacer esto es como el anterior. Por otro lado, podemos hacer lo siguiente:
En primer lugar, el tratamiento de la base de $x$ como una variable, y el exponente $1/x$ como una constante para obtener $\frac{1}{x}x^{\frac{1}{x}-1}=x^{\frac{1}{x}}\frac{1}{x^2}$.
Segundo, el tratamiento de la base como una constante y el exponente $1/x$ como una variable para obtener $x^{1/x}\ln(x)\frac{-1}{x^2}$.
Agregar los dos juntos y se obtiene la derivada de $x^{\frac{1}{x}}$.
