¿Se Hoelder espacios continuamente encajan en espacios Lp?

Question

Que $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ser un dominio acotado de clase $C^1$ y $\gamma\in (0,1]$.

Sólo estoy interesado en Hoelder espacios de forma $C^{0,\gamma}(\overline{\Omega})$, es decir, no me interesa si las funciones en el espacio tienen derivados Hoelder continua o no.

Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Que $|u|_{0,\gamma}=\displaystyle\sup_{x,y\in\overline{\Omega}, x\neq y}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\gamma}$. Entonces otorga la norma en $C^{0,\gamma}(\overline{\Omega})$ %#% $ #%

Si $$\|u\|_{0,\gamma}=\|u\|_{C(\overline{\Omega})}+|u|_{0,\gamma}$ denota la medida del $|\Omega|$, tenemos para $\Omega$\begin{eqnarray} \Big(\int_\Omega |u|^p\Big)^{\frac{1}{p}} &\leq& |\Omega|^\frac{1}{p}\|u\|_{C(\overline{\Omega})} \nonumber \\ &\leq& |\Omega|^{\frac{1}{p}}\|u\|_{C(\overline{\Omega})}+|\Omega|^\frac{1}{p}|u|_{0,\gamma} \nonumber \\ &=& |\Omega|^\frac{1}{p} \|u\|_{0,\gamma} \end{eqnarray}

El caso $p\in [1,\infty)$ es trivial.