En el uso de la topología en paquetes de la tangentes

Question

En el aprendizaje acerca de cómo definir suave campos vectoriales sobre un colector $M$, aprendí que uno debe definir primero una tangente paquete , $T(M)$ $\cup T_p(M)$ junto con una topología(liso de la estructura). Y entonces, suave, un campo de vectores $X$ sería un suave mapa de $M \rightarrow T(M)$ s.t. $\pi \circ X=id_M$

Sin embargo, es obvio que el uso de la auxilary colector $T(M)$ no debe limitarse a la simple oferta de una buena def. de "suave" campos vectoriales. Bueno, al menos no sería usted el uso de la topología global de $T(M)$. (Desde la comprobación de la "suavidad" se realiza a nivel local)

Me inclino a creer que la topología global de $T(M)$ puede jugar un papel más importante en la determinación de las propiedades de vectorfields en $M$. Así que aquí están mis dos preguntas:

1. Puede dar un ejemplo donde la topología global de $T(M)$ es utilizado para el control de ciertas propiedades(posiblemente unos de vec. los campos) en $M$?

2. Si la topología global en $T(M)$ es realmente importante, ¿cómo podemos establecer acerca de la determinación? Sólo he visto ejemplos triviales donde para $M=S^1 or \mathbb{R}^n$, $T(M)=M\times \mathbb{R}^n$. Pero sin duda, hay ejemplos en los que $T(M)\neq M\times \mathbb{R}^n$. Y ¿cómo podemos determinar la topología en ese caso?

Answer 1

Vamos a considerar la tangente bundle $T(S^2)$ de la $2$-dimensiones de la esfera $S^2$. Tenga en cuenta que $T(S^2)$ no es trivial paquete, es decir,$T(S^2)\not\simeq S^2\times\mathbb{R}^2$.

Para ver esto, vamos a $X$ ser un campo de vectores de $T(S^2)$. Entonces, como usted dijo, $X$ es una sección de la tangente bundle $T(S^2)$, es decir, $X:S^2\rightarrow T(S^2)$ tal que $\pi\circ X=id_{S^2}$. Por Poincaré-Hopf del teorema, $X$ debe tener un cero, es decir no existe $p\in S^2$ tal que $X(p)=0$. Por lo tanto, $T(S^2)\neq S^2\times\mathbb{R}^2$; de lo contrario, si $T(S^2)\simeq S^2\times\mathbb{R}^2$, entonces no existiría un no-desaparición de campo vectorial $X$. Más precisamente, si $\pi: S^2\rightarrow T(S^2)\simeq S^2\times\mathbb{R}^2$, $X(p)=(p,(1,0))$ donde $p\in S^2$ $(1,0)\in\mathbb{R}^2$ es un no-desaparición de campos vectoriales.

En el ejemplo anterior, podemos ver que la topología de la $T(S^2)$ (la propiedad que $T(S^2)$ no es trivial) da la propiedad en el campo de vectores.

Nota añadida: Véase también Zhen Lin respuesta. Él me golpea por un minuto.

Answer 2

Cada colector con trivial tangente paquete es orientable: este es inmediata a partir de la definición.
Por lo tanto todos los no-orientable colector es un ejemplo de un colector con no trivial de la tangente paquete.
Fácil ejemplos son la banda de Möbius, el real proyectiva avión $\mathbb P^2(\mathbb R)$ y la botella de Klein.
El punto de vista de orientability tiene la ventaja de que es completamente primaria y autónoma: no entrada de topología id s que se necesitan.

(Este es sin duda no se entiende como una crítica de Pablo y Zhen grandes respuestas que acabo de upvoted: los teoremas aluden a que son muy interesantes y, finalmente, debe ser aprendido demasiado)

Editar déjame mostrarte lo fácil que es para probar no orientability!

1) Un útil comentario
Si $M$ es orientable y si $(U,x)$ $(V,y)$ son dos cartas conectadas dominios $U,V$ , entonces el cambio de coordenadas $\phi =y\circ x^{-1}: x(U\cap V) \to y(U\cap V)$ tiene un jacobiano $Jac(\phi) =det (\frac {\partial y_i}{\partial x_j})$ que no cambia de signo en $x(U\cap V)\subset \mathbb R^n$.
[Esto es notable porque $U\cap V$ $x(U\cap V)$ no necesita estar conectado aunque$U$$V$]

2) Aplicación: $\mathbb P^2(\mathbb R)$ es no orientable
Considere los dos gráficos de $x :U\to \mathbb R^2:[1:v:w]\mapsto (v,w)$$y :V\to \mathbb R^2:[u:1:w]\mapsto (u,w)$ , donde el dominio $U$ (resp. $V$) es el conjunto de $[u:v:w]\in \mathbb P^2(\mathbb R)$ $u\neq 0$ (resp. $v\neq 0$).
El cambio de coordenadas es el diffeomorphism
$$\phi=y\circ x^{-1}: \mathbb R^*\times \mathbb R \to \mathbb R^*\times \mathbb R:(u,v)\mapsto (\frac {1}{u},\frac {v}{u})$$
cuyo jacobiano $(Jac (\phi))(u,v)= -\frac {1}{u^3}$ hace cambiar el signo de su (desconectado!) el dominio $\mathbb R^*\times \mathbb R$.
Por lo tanto $\mathbb P^2(\mathbb R)$ es no orientable según la utilidad comentario de arriba.

Answer 3

Por supuesto, la topología global de las $T(M)$ es importante. Controla, por ejemplo, la existencia de definido globalmente campos vectoriales con ciertas propiedades. Por el contrario, la no existencia de ciertos campos vectoriales nos dice que la topología global de $T(M)$ no es trivial.

Considerar la esfera de $S^2$. Por el peludo teorema de la bola, no hay ningún continua campos vectoriales $S^2 \to T(S^2)$, que es la nada de fuga. Pero si $T(S^2) \cong S^2 \times \mathbb{R}^2$, a continuación, por la elección de una base continua del espacio de la tangente en cada punto, podríamos obtener un continuo de la nada-desaparición de campo vectorial $S^2 \to T(S^2)$ - una contradicción. Por lo $T(S^2) \ncong S^2 \times \mathbb{R}^2$.

En el caso de un incrustado colector $T(M)$ se define como la desaparición de algunos de funcionamiento $F : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^k$, es fácil describir la tangente bundle como otro incrustado colector $T(M)$: es (diffeomorphic a) la submanifold

$$\{ (x, \vec{v}) \in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N : F(x) = 0, D_x F (\vec{v}) = 0 \}$$

donde $D_x F : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^k$ es la matriz Jacobiana de $F$ evaluado en $x$. Así, por ejemplo, $$T(S^2) = \{ (x, y, z, u, v, w) \in \mathbb{R}^6 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, 2 x u + 2 y v + 2 z w = 0 \}$$ Es un divertido ejercicio para demostrar que $$T(S^n) \cong \{ (z_0, \ldots, z_n) \in \mathbb{C}^{n+1} : {z_0}^2 + \cdots + {z_n}^2 = 1 \}$$ En otras palabras, $T(S^n)$ tiene la estructura de un complejo colector!

Pero, por supuesto, algún trabajo que aún queda por hacer. No es en absoluto evidente a partir de este cálculo que $T(S^3) \cong S^3 \times \mathbb{R}^3$, que es una consecuencia de la existencia de una Mentira estructura de grupo en la $S^3$. (Se encuentran todos los grupos han trivial tangente paquete.)