Las matrices que son tanto unitarias como hermitianas

Question

Matrices como

$$ \begin {bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & - \cos\theta \end {bmatrix} \text { or } \begin {bmatrix} \cos\theta & i \sin\theta \\ -i \sin\theta & - \cos\theta \end {bmatrix} \text { or } \begin {bmatrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end {bmatrix} $$

son ambos unitario y Hermitian (para $0 \le \theta \le 2 \pi $ ). Llamo a este último tipo trivial ya que sus columnas son iguales a las columnas de más/menos de la matriz de identidad.

¿Tienen esas matrices alguna importancia (en la teoría o en la práctica)?

En el respuesta a esta pregunta se dice que "para cada espacio Hilbert excepto $ \mathbb {C}^2$ una matriz unitaria no puede ser Hermitiana y viceversa". Fue comentó que las matrices de identidad son siempre tanto unitarias como hermitianas, por lo que esta regla no es cierta. De hecho, todas trivial Las matrices (como se han definido anteriormente) tienen esta propiedad. Además, las matrices como

$$ \begin {bmatrix} \sqrt {0.5} & 0 & \sqrt {0.5} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sqrt {0.5} & 0 & - \sqrt {0.5} \end {bmatrix} $$

son ambos unitarios y Hermitianos.

Por lo tanto, la regla general en la pregunta antes mencionada parece ser inútil.

Parece que, para cualquier $n > 1$ infinitas matrices sobre el espacio de Hilbert $ \mathbb {C}^n$ son simultáneamente unitarios y Hermitianos, ¿verdad?

Answer 1

Las matrices unitarias son precisamente las matrices que admiten un conjunto completo de vectores propios ortonormales de tal manera que los valores propios correspondientes se encuentran en el círculo unitario. Las matrices hermitianas son precisamente las matrices que admiten un conjunto completo de vectores propios ortonormales, de modo que los valores propios correspondientes son reales. Así que las matrices unitarias hermitianas son precisamente las matrices que admiten un conjunto completo de vectores propios ortonormales, de forma que los correspondientes valores propios son $ \pm 1$ .

Esta es una condición muy fuerte. Como dice George Lowther, cualquier matriz de este tipo $M$ tiene la propiedad de que $P = \frac {M+1}{2}$ admite un conjunto completo de vectores propios ortonormales de tal manera que los valores propios correspondientes son $0, 1$ así que $P$ es un Hermitiano idempotent o como dice George Lowther una proyección ortogonal. Por supuesto que tales matrices son interesantes y aparecen naturalmente en las matemáticas, pero me parece que en general es más natural empezar desde la condición de idempotencia.

Supongo que se podría decir que las matrices unitarias Hermitianas describen con precisión las representaciones unitarias del grupo cíclico $C_2$ pero desde esta perspectiva, el hecho de que tales matrices resulten ser Hermitianas es un accidente que viene del hecho de que $2$ es demasiado pequeño.

Answer 2

Una matriz $M$ es unitario y Hermitiano si y sólo si $M=2P-1$ para un proyección ortogonal $P$ . Eso es, $P$ es Hermitiano y $P^2=P$ .

Answer 3

Ya que nadie más parece haberlo dicho (explícitamente al menos, aunque los elementos de orden $2$ y las proyecciones están estrechamente vinculadas, como se indica en algunas respuestas), una matriz unitaria que también es Hermitiana es sólo una matriz unitaria de orden multiplicativo a lo sumo $2$ (o, de forma equivalente, una matriz hermitiana de orden multiplicativo a lo sumo $2$ ). Para una matriz $A$ es unitario si un solo si $A^{*} = A^{-1},$ donde $*$ denota "conjugado transpuesto", mientras que $A$ es Hermitian si y sólo si $A^{*} = A.$ Por lo tanto, si $A$ es a la vez unitario y hermitiano, tenemos $A = A^{-1}$ (y $A$ es unitario). En cuanto a los usos teóricos, el grupo ${ \rm SU}_{n}^{ \pm }( \mathbb {C})$ es generado por tales matrices para cada $n$ donde ${ \rm SU}_{n}^{ \pm }( \mathbb {C})$ denota el grupo de los unitarios $n \times n$ matrices de determinantes $ \pm 1$ . Esto está claro para $n = 1$ y sigue fácilmente por inducción, usando el hecho de que ${ \rm PSU}(n, \mathbb {C})$ es un grupo simple para $n > 1.$

Answer 4

"¿Tienen esas matrices algún significado (en la teoría o en la práctica)?"

Sí, ciertamente lo hacen. Como comenté en la respuesta de George, las matrices complejas de los hogares (también conocidas como reflectores elementales) son tanto unitarias como hermitianas. En general, uno puede construir fácilmente una matriz de Hogares $ \mathbf H= \mathbf I-2 \mathbf u \mathbf u^ \dagger , \quad \| \mathbf u\|_2=1$ de tal manera que $ \mathbf H \cdot\mathbf v=c \mathbf e_1$ donde $ \mathbf v$ es un vector complejo arbitrario, $ \mathbf e_1$ es la primera columna de la matriz de identidad, y $c$ es real. Por lo tanto, se pueden considerar versiones complejas de los algoritmos habituales de álgebra lineal que se basan en matrices ortogonales, por ejemplo, QR, SVD, descomposiciones de Schur...

Answer 5

Tales matrices se utilizan en el campo de la Computación Cuántica. Los estados de un sistema cuántico existen en un espacio Hilbert de dimensión n. El espacio de los operadores o "puertas" que afectan a este espacio de estado Hilbert es el espacio de todas las matrices unitarias de dimensión n*n.

Los vectores en este espacio operador que son Hermitianos son extremadamente útiles porque denotan puertas que son reversibles (note como si A es Hermitiano A=A^-1, entonces no sólo es la operación Cuántica A invertible, sino que de hecho es su propio inverso).