Operadores diferenciales autónomos

Question

Me está costando mucho entender el trato con opertores diferenciales autoadhesivos usado para resolver un conjunto de dos DPE de segundo orden acoplados.

El asunto es que la solución de los EDP se vuelve numéricamente inestable y he escuchado que esto se debe al hecho de que los operadores utilizados no se auto-ajustan y la energía no se conserva en este caso.

Los dos acoplados PDEs de segundo orden son:

$$\frac { \partial ^2p}{ \partial t^2}=V_{px}^2 {H_2} p + \alpha V_{pz}^2 {H_1} q + V_{sz}^2{H_1}(p - \alpha q) + S \tag {1}$$

$$\frac { \partial ^2q}{ \partial t^2}= \frac {V_{pn}^2}{ \alpha }{H_2} p + V_{pz}^2 {H_1} q - V_{sz}^2{H_2} \left ( \frac {1}{ \alpha }p - q \right ) + S \tag {2}$$

donde p es el campo de ondas de presión y q es un campo de ondas auxiliares, $S$ es el término de la Fuente $V_{px}$ y $V_{sz}$ son las velocidades sísmicas en la dirección x - o z, respectivamente, $\alpha = 1$ y $H_1$ y $H_2$ son los operadores de diferencial rotativo: \begin {eqnarray} {H_1}& =& \sin ^2 \theta \cos ^2 \phi \frac { \partial ^2}{ \partial x ^2}+ \sin ^2 \theta \sin ^2 \phi \frac { \partial ^2}{ \partial y ^2} + \cos ^2 \theta \frac { \partial ^2}{ \partial z ^2}+ \\ && \sin ^2 \theta \sin 2 \phi \frac { \partial ^2}{ \partial x \partial z} + \sin 2 \theta \sin \phi \frac { \partial ^2}{ \partial x \partial y}+ \sin 2 \theta \cos \phi \frac { \partial ^2}{ \partial x \partial y} \end {eqnarray}

$${H_2} = \frac { \partial ^2}{ \partial x ^2}+ \frac { \partial ^2}{ \partial y ^2}+ \frac { \partial ^2}{ \partial z ^2} - {H_1}.$$

donde $\phi$ es un ángulo de acimut y $\theta$ es un ángulo de inclinación.

En este caso estoy resolviendo para la solución de un campo de ondas de presión.

EDITAR ¿Existe una explicación física para los operadores de la auto-unión? El documento al que me refiero se puede encontrar aquí donde las ecuaciones 14 y 15 se parecen a mis ecuaciones de postet.

Answer 1

No sé si esto es una respuesta, ya que no estoy seguro de haber entendido su pregunta. La estructura de la ecuación es formalmente hiperbólica: $$\frac { \partial ^2 \psi }{ \partial t^2} - A \psi = S \quad (1)$$ donde $\psi =(p,q)^t$ . Si $A$ eran auto-adhesivos y no negativos (o no positivos, cambiando un signo e insertando otro $i$ delante de $\sqrt {-A}$ como digo más abajo), uno construiría otro operador auto-ajustado $\sqrt {A}$ usando la teoría espectral, y (1) sería reescrito como: $$\left ( \frac { \partial }{ \partial t} - \sqrt {A} \right ) \left ( \frac { \partial }{ \partial t} + \sqrt {A} \right ) \psi (t) = S(t)\:. \quad (2)$$ Esta ecuación puede resolverse interpretando la derivada como una derivada en la topología de operador fuerte en el espacio de Hilbert de la teoría. La solución $\psi = \psi (t)$ es un mapa valorado en el mencionado espacio Hilbert. Así que por cada fijo $t$ en tu caso, $\psi (t)= \psi (t| \vec {x})$ es un elemento $L^2( \mathbb R^3) \oplus L^2( \mathbb R^3)$ o algún espacio asociado de Sobolev. Entonces uno debería probar que estas soluciones también son soluciones en sentido estricto. La ecuación (2) tiene una solución canónica, en dicho sentido, obtenida iterando la solución de $$\left ( \frac { \partial }{ \partial t} \pm \sqrt {A} \right ) \Phi (t) = Z(t)$$ que es: $$\Phi (t) = \Phi (0) + e^{ \mp t \sqrt {A}} \int_0 ^t e^{ \pm \tau\sqrt {A}} Z( \tau ) d \tau\ :.$$ La iteración introduce el primer derivado $\partial_t \psi (0)$ como segundo dato inicial, junto con $\psi (0)$ . La solución de (2) eventualmente depende de esos datos iniciales.

Sin embargo, hay problemas con los dominios de los operadores involucrados, en general, especialmente porque $e^{t \sqrt {A}}$ no está limitado por $t>0$ .

Si $A$ es auto-adhesivo y no positivo, $-A$ es no negativo y por lo tanto (2) puede ser reescrito como: $$\left ( \frac { \partial }{ \partial t} - i \sqrt {-A} \right ) \left ( \frac { \partial }{ \partial t} + i \sqrt {-A} \right ) \psi (t) = S(t)\:, \quad (3)$$ y la solución se puede obtener refiriéndose a $$\left ( \frac { \partial }{ \partial t} \pm i \sqrt {-A} \right ) \Phi (t) = Z(t)$$ que se resuelve como: $$\Phi (t) = \Phi (0) + e^{ \mp it \sqrt {-A}} \int_0 ^t e^{ \pm i \tau\sqrt {-A}} Z( \tau ) d \tau\ :.$$

La situación con los dominios aquí mejora porque $e^{it \sqrt {-A}}$ está limitada (es unitaria) por cada $t \in \mathbb R$ y por lo tanto su dominio es todo el espacio Hilbert.

Si $A$ no es auto-adhesivo lo que escribí arriba no se aplica a la forma de rascar ya que $\sqrt { \pm A}$ no está bien definido (aún podría serlo si $A$ eran normales).