¿Ha publicado alguien una fórmula para el volumen de la intersección de dos bolas

Question

Gente de matemáticas:

He buscado esta pregunta en Google y en Math Stack Exchange, y no he encontrado respuesta. Dado $r_1, r_0, t >0$ , $r_0 \leq r_1$ He encontrado una fórmula para el volumen de la intersección de dos bolas tridimensionales con radios $r_0$ y $r_1$ y centros separados por $t$ . Es obvio lo que es si $t \leq r_1 - r_0$ o $t \geq r_1 + r_0$ . Para $r_1 -r_0 \leq t \leq r_1 + r_0$ es polinómica (cúbica) en $r_0$ y $r_1$ y racional en $t$ con poderes de $t$ pasando de $t^{-1}$ a $t^3$ si no recuerdo mal. Lo encontré usando técnicas de Calc 3 y algo de ayuda de Maple para simplificar algunas expresiones desagradables.

Alguien tiene que haber hecho esto antes. ¿Alguien ha visto una fórmula para esto? Esto es parte de un proyecto de investigación y no quiero atribuirme el mérito si alguien lo ha hecho antes.

Stefan (FAN de la Bolsa de Valores)

Answer 1

Mathworld tiene la fórmula ( http://mathworld.wolfram.com/Sphere-SphereIntersection.html ), y cita a Kern y Bland 1948, pero no he comprobado si el libro contiene realmente la fórmula.

Varias fuentes tienen la fórmula del volumen de un casquete esférico (a partir de la cual se puede obtener el volumen de la intersección esférica), por ejemplo el Handbook of Mathematics and Computational Science.

En cualquier caso, en su posición yo trataría el volumen de intersección como "bien conocido".

Answer 2

La región por la que pregunta es la unión de dos tapones esféricos . El volumen de intersección de dos bolas, incluso de distinto radio, puede calcularse a partir de la suma de esos dos volúmenes.

Es decir, las esferas delimitadoras se intersecan en un círculo (si es que lo hacen, siendo trivial el caso de una esfera anidada en otra), y el plano en el que se encuentra ese círculo corta un casquete esférico de cada bola. Si se suman sus volúmenes, se obtiene el volumen de la intersección.

Los casos de mayor dimensión se analizan en esta pregunta anterior .