Resolver una ecuación de cuarto grado dividiendo

Question

Me pidió que resolver: $$x^4+2x^3-22x^2+2x+1 = 0$$ Sin el uso de cálculo diferencial (Método de Newton). Mi Progreso: Dividiendo por $x^2$, me sale: $$x^2+2x-22+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} = 0$$ $$x^2 +\frac{1}{x^2} +2x +\frac{2}{x} -22 = 0$$ $$(x+\frac{1}{x})^2 +2(x+\frac{1}{x}) - 24 = 0$$ deje $k = (x+\frac{1}{x})$ $$k^2+2k-24 = 0$$ $$(k+6)(k-4) = 0$$ $k = -6$ o $k = 4$

Poner a $4 = x + \frac{1}{x} $ conduce a $x^2 − 4x + 1 = 0$ como en el anterior, y poner $−6 = x + \frac{1}{x}$ conduce a $x^2 + 6x + 1 = 0.$

No importa la respuesta que obtengo después de eso. La gran pregunta que tengo es que yo dividido por $x^2$ en la parte superior. Mis profesores de matemáticas siempre me dijeron que uno nunca debe dividir por una variable, pero yo lo hice y tengo 4 diferentes raíces para esta pregunta. ¿Por qué no estoy permitió dividir por una variable y cuando es posible que me puede dividir por una variable? Me hizo resolver esta ecuación.

Answer 1

La razón por la que, en general, se considera una mala práctica de dividir por una variable, es porque usted puede perder hacia fuera en las soluciones, cuando lo divides por el que pasa a ser cero. Sin embargo, es perfectamente válido si usted puede asegurarse de que está dividiendo por un valor distinto de cero la cantidad.

Por ejemplo: la resolución de $x(x-1)=x(2x-3)$. Ingenuamente uno podría dividir por $x$ en ambos lados, y conseguir que el $x-1=2x-3\implies x=2$. Sin embargo, se estaría suponiendo implícitamente que el $x\neq0$ (igual que no se puede dividir por cero). Una manera de lidiar con esto, para este ejemplo, es traer a todos los términos en el mismo lado y el factor (que es generalmente preferido), sin embargo, sería igualmente válido considerar dos casos en su lugar.

Caso 1: $x=0$. En este caso, la ecuación se satisface, por lo que tenemos una solución válida.

Caso 2: $x\neq0$. En este caso, podemos dividir ambos lados por $x$, porque es distinto de cero, y proceder como antes.

Así que en general, si es un inconveniente para el factor, usted puede considerar los dos casos, cuando lo que se desea dividir por cero, y cuando es distinto de cero. En tu caso, es bastante fácil de comprobar que $x=0$ no satisface la ecuación, por lo que es perfectamente válido para dividir por la variable $x$ en este caso, sin ningún tipo de casos.

Answer 2

El maestro es la mitad derecha y la mitad de malo. Primero se debe comprobar si el término constante en el polinomio es igual a cero. Si es así, entonces el cero es un root y puedes factor general grado de x^n, donde n es un número natural. A continuación, puede resolver ambos factores. Si el término constante no es cero, el cero no puede ser una raíz, como en el ejemplo en el que el término constante es igual a uno. En este caso se puede dividir la ecuación por la variable sin ningún tipo de problemas con expresiones undefined. El maestro sólo quería hacer las cosas más fácil para el resto de la clase, sin embargo, su solución es válida matemáticamente. Por favor, dígale al maestro sobre lo que he escrito.