Explicación del concepto de geometría diferencial

Question

La derivada de la curva parametrizada $r(t)$ da como resultado el vector tangente adjunto en ese punto, si $\dot{r}(t)=\vec{t}$ es diferenciado nuevamente, $r''(t)=\dot{\vec{t}}=\kappa n$, donde n es la normal adjunta en ese punto, pero en la ilustración dada el $\dot{\vec{t}}$ no está en la dirección de n. por favor ayuda, estoy confundido y bastante novato en este tema. ¿El vector normal principal $\vec{p}$ es diferente del vector normal n? página de referencia 5 https://www.cmu.edu/biolphys/deserno/pdf/diff_geom.pdf

Answer 1

$\newcommand{\Vec}[1]{\mathbf{#1}}$En una palabra, "sí": Hay dos "vectores normales" distintos en tu situación.

(La notación a continuación fue ligeramente modificada para que coincida con el diagrama a continuación en lugar del diagrama en la pregunta.)

1. El campo normal unitario a la superficie $S$, etiquetado como "$\Vec{n}$" en el diagrama a continuación.

2. El normal principal $\Vec{N}$ de la trayectoria $\Vec{r}$, que satisface $\Vec{r}''(t) = \kappa \Vec{N}$.

Si la imagen de una trayectoria $\Vec{r}$ yace en una superficie $S$, la segunda derivada de $\Vec{r}$ puede descomponerse en componentes paralelas y ortogonales a la normal de la superficie. Las magnitudes de estas componentes son la curvatura normal $\kappa_{n}$ y la curvatura geodésica $\kappa_{g}$, respectivamente.

Si $\Vec{T}(t) = \dfrac{\Vec{r}'(t)}{\|\Vec{r}'(t)\|}$ es el campo tangente unitario de $\Vec{r}$, entonces $$ \Vec{r}''(t) = \kappa \Vec{N} = \kappa_{n} \Vec{n} + \kappa_{g} (\Vec{n} \times \Vec{T}). $$

El diagrama a continuación muestra una latitud en una esfera, parametrizada a velocidad unitaria. El normal principal $\Vec{N}$ yace en el plano del círculo de latitud, y apunta directamente al centro. La aceleración $\Vec{r}''(t)$, que es paralela al normal principal (pero ni paralela ni ortogonal al normal de superficie unitario $\Vec{n}$ en este caso), se descompone de manera única en una componente $\kappa_{n} \Vec{n}$ normal a $S$ y una componente $\kappa_{g} (\Vec{n} \times \Vec{T})$ tangente a $S$. Las magnitudes de estas componentes son la curvatura normal $\kappa_{n}$ y la curvatura geodésica $\kappa_{g}$ de la latitud. Ninguna de las cantidades es igual a la curvatura $\kappa$ de la latitud. (De hecho, el teorema de Pitágoras da $\kappa = \sqrt{\kappa_{n}^{2} + \kappa_{g}^{2}}$.)

Answer 2

"La derivada de la curva parametrizada, r(t), da un vector tangente" - hay muchos vectores tangentes diferentes, todos apuntando en la misma dirección con longitudes diferentes. Si el parámetro, t, es "longitud de arco" la derivada con respecto a t da el vector tangente unitario y en ese caso, la segunda derivada es el vector normal.