Un amigo me hizo la siguiente pregunta interesante:
Vamos
$$A = \begin{bmatrix} R \\ \xi{\rm I} \end{bmatrix},$$
donde $R \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es una triangular superior y ${\rm I}$ es una matriz identidad, tanto de orden $n$, e $\xi \in \mathbb{R}$ es un escalar.
Es allí una manera eficiente para calcular la factorización QR de a $A$?
He encontrado esta pregunta con una muy buena respuesta, pero me gustaría evitar hacer el SVD porque es computacionalmente caro y mi $R$ no es una constante como $W$ en que otra pregunta. También, mi $R$ ya es triangular, que espero que de alguna manera puede ser utilizado.
Edit: hubo un comentario (se convirtió en una respuesta, mientras yo estaba escribiendo esta edición) sobre el uso de rotaciones de Givens. Ya que ello es una consecuencia lógica de la primera idea, me gustaría explicar por qué no me gusta.
Podríamos utilizar las rotaciones de Givens para cancelar los elementos de $\xi{\rm I}$, pero cada rotación de Givens es computing dos combinaciones lineales de dos filas. Eso significa que si me cancelan el primer elemento de $\xi{\rm I}$, voy a introducir también un montón de no-ceros en el resto de la fila.
Esto significa que tendría que ir a través de todo el triángulo superior de la parte inferior del bloque, mismo que tendría que hacer si $\xi{\rm I}$ fue un general triangular superior de la matriz. Dado que es una matriz diagonal (con todos sus elementos de la diagonal de ser el mismo, aunque sospecho que esto no ayuda mucho), estoy esperando a conseguir más eficaz que eso.
