La generalización de $\frac{a + b}{c + d} \leq \text{max}(\frac{a}{c}, \frac{b}{d})$

Question

Estoy buscando una matriz de versión de la básico de la desigualdad de la relación de dos sumas de números positivos: $$\frac{a + b}{c + d} \leq \max\left\{\frac{a}{c}, \frac{b}{d}\right\}.$$ Específicamente, he positivo semidefinite matrices $A, B \in \mathbb{R}^{d \times d}$ tal que $(A + B)$ es invertible. Estoy buscando un obligado en $$\|(A + B)^{-1}(A x + B y)\|.$$ En el problema más general (el problema es que en realidad me importaba), $A_i\ (i = 1, \dotsc, n)$ es una secuencia finita de positivo semidefinite matrices y quiero un límite en $$\rho_n \equiv \Big\|\Big(\sum_{i=1}^{n} A_i\Big)^{-1}\Big(\sum_{i=1}^{n} A_i x_i\Big)\Big\|.$$

Si ayuda, suponga que $A_i$ es una matriz de proyección y que $\|\cdot\|$ es la norma Euclídea; sospecho que en este caso, $\rho_n \leq d^{1/2} \max_{i} \|x_i\|$.

Answer 1

Yo tengo una respuesta para la norma Euclídea. Set $\Omega = \sum_{i=1}^{n} A_i$ y deje $B_i = \Omega^{-1} A_i$. A continuación, $$\rho_n = \big\|\sum_{i=1}^{n} B_i x_i\big\| \leq \sum_{i=1}^{n}\|B_i\| \|x_i\| \leq \big(\sum_{i=1}^{n} \|B_i\|\big) \max_i \|x_i\|.$$ Set $\tilde B_i = \Omega^{-1/2} A_i \Omega^{-1/2} \succeq 0$, señalando que $\|B_i\| = \|\tilde B_i\|$. Además, $\sum_{i=1}^{n} \tilde B_i = I$, por lo que $$\sum_{i=1}^{n}\|\tilde B_i\| \leq \sum_{i=1}^{n} \mathrm{tr}(\tilde B_i) = d.$$ Por lo tanto, $$\rho_n \leq d \max_i \|x_i\|.$$ No creo que esté firme, pero funciona bien para mis propósitos.