Dejemos que $G$ sea un grupo toplógico, y sea $H$ sea un subgrupo de $G$ . Dejemos que $G / H $ denota la colección de todos los cosets izquierdos de $H$ en $G$ y que $a$ sea un elemento fijo de $G$ . Que el mapa $f \colon G / H \to G / H$ se definirá de la siguiente manera: $$f(xH) \colon= axH \ \ \ \mbox{ for all } \ xH \in G/H.$$
Entonces, ¿cómo demostrar que el mapa $f$ es un homeomorfismo?
Aquí $G/H$ tiene la topología del cociente.
Mi esfuerzo:
Para dos elementos cualesquiera $x, y \in G$ tenemos $xH = yH$ si y sólo si $x^{-1}y \in H$ .
Así que si $xH = yH$ entonces $x^{-1}y \in H$ Así que $$(ax)^{-1}(ay) = ( x^{-1}a^{-1})(ay) = x^{-1}y \in H,$$ demostrando que $axH = ayH$ . Así que $f$ está bien definida (es decir, es de un solo valor).
Ahora bien, si $f(x) = f(y)$ entonces $axH = ayH$ y así $(ax)^{-1}(ay) \in H$ . Pero $$(ax)^{-1}(ay) = ( x^{-1}a^{-1})(ay) = x^{-1}y. $$ Así que $x^{-1}y \in H$ lo que implica que $xH = yH$ . Así, $f$ es inyectiva.
Ahora bien, si $yH \in G/H$ entonces $y \in G$ y así $a^{-1}y \in G$ también; por lo tanto $a^{-1}y H \in G/H$ . Además, $$f(a^{-1}yH) = aa^{-1}yH = yH,$$ demostrando que $f$ es suryente.
Por lo tanto, $f$ es biyectiva.
¿Cómo proceder a partir de aquí? ¿Cómo demostrar que $f$ es continua? Y, ¿cómo demostrar que $f$ ¿está abierto?
Sé que el mapa $f_a \colon G \to G$ definido por $$f_a(x) \colon= ax \ \ \ \mbox{ for all } \ x \in G$$ es un homeomorfismo.
Y, el mapa $p \colon G \to G/H$ definido por $$p(x) \colon= xH \ \ \ \mbox{ for all } \ x \in G$$ es suryente.
Además, la acción del mapa $f$ en los elementos de $G/H$ es de alguna manera similar a la acción del mapa $f_a$ en los elementos de $G$ .
¿Cómo proceder a partir de aquí?
