¿Por qué es $dB^2=dt$? Cada fuente en línea con que me he topado enumera esto como un ejercicio o a los Estados, pero ¿por qué no es esto siempre explícitamente demostrado? Sé que $dB=\sqrt{dt}Z$, pero no sé qué encuadre una variable aleatoria gaussiana significa.
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user36150
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$$dB_t^2 = dt, \qquad (dt)^2 = 0, \qquad dB_t \, dt = 0 \tag{1}$$ son, básicamente, las reglas para simplificar el cálculo de la cuadrática (co)variación de Itô procesos - y nada más:
Deje $(B_t)_{t \geq 0}$ unidimensional el movimiento Browniano y el $(X_t)_{t \geq 0}$ un proceso de Itô, es decir,
$$dX_s = \sigma(s) \, dB_s + b(s) \, ds$$
Luego, por la fórmula de Itô,
$$f(X_t)-f(X_0) = \int_0^t f'(X_s) \, dX_s + \int_0^t f''(X_s) \, \sigma^2(s) \, ds. \tag{2}$$
El punto es: Si nos limitamos a aplicar las reglas de $(1)$, obtenemos
$$dX_s^2 = (\sigma(s) \, dB_s + b(s) \, ds)^2 = \sigma^2(s) \underbrace{dB_s^2}_{ds} + 2b(s) \sigma(s) \underbrace{ds B_s}_{0} + b^2(s) \, \underbrace{ds^2}_{0} \\ = \sigma^2(s) \, ds.$$
Por lo tanto, podemos reescribir $(2)$, de la siguiente manera:
$$f(X_t)-f(X_0) = \int_0^t f'(X_s) \, dX_s + \int_0^t f''(X_s) \, dX_s^2$$
es decir, la fórmula de Itô justifica las reglas de cálculo en $(1)$.
El (matemática) la razón por la que esto funciona bien puede ser visto a la vez que comprueban la fórmula de Itô. En realidad, uno puede mostrar que
$$\sum_{j=1}^n g(B_{t_{j-1}}) \cdot (B_{t_j}-B_{t_{j-1}})^2 \tag{3}$$
converge a
$$\int_0^t g(B_s) \, ds$$
como el tamaño de la malla $|\Pi|$ de la partición $\Pi=\{0=t_0<\ldots<t_n=t\}$ tiende a $0$. Esta convergencia se basa en el hecho de que $B_t^2-t$ es una martingala. Por otro lado, la comparación de $(3)$ con la definición de Riemann-Stieltjes integrales, es natural definir
$$\int_0^t g(B_s) \, dB_s^2 := \lim_{|\Pi| \to 0}\sum_{j=1}^n g(B_{t_{j-1}}) \cdot (B_{t_j}-B_{t_{j-1}})^2.$$
En consecuencia,
$$\int_0^t g(B_s) \, dB_s^2 = \int_0^t g(B_s) \, ds.$$
Un razonamiento similar se aplica a los procesos de Itô. Tenga en cuenta que estas integrales, es decir, las integrales de la forma
$$\int_0^t g(X_s) \, dX_s^2,$$
son exactamente las integrales que aparecen en la fórmula de Itô $(2)$ ($g \hat{=} f''$).
Michael Hardy
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128804
Para variables aleatorias independientes, la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas. Por lo $\mathbb{E}((\Delta B)^2)=\Delta t$, es decir, si el incremento de $t$ un poco, a continuación, la varianza del valor de $B$ antes de que se incrementan más la varianza del incremento es igual a la varianza del valor de la $B$ después del incremento.
O se podría decir $$ \frac{\mathbb{E}((\Delta B)^2)}{\Delta t} = 1. $$ Que mucho sigue fácilmente de las primeras cosas que se escuchan sobre el proceso de Wiener. Yo podría decir, entonces, de "toma de límites", pero que podría ser sarcástico, así que en su lugar voy a decir que para una rigurosa respuesta, yo tendría que hacer algo más de trabajo.
Dale Hagglund
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Obviamente $dB_t^2 \neq dt$, $dB_t \sim \mathcal{N} (0, dt)$ es una variable aleatoria, mientras que $dt$ es determinista.
Como dijo Michael Hardy, realmente quería decir $\mathbb{E} \left[ dB_t^2 \right] = dt$. Para convencerse, calcular $$ \mathbb{E} \left[ dB_t^n \right] = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi dt}} \exp\left(-\frac{x^2}{2 dt}\right) x^n dx \, .$ $
