Una suma que implican Coeficientes binomiales y potencias de 2

Question

¿Estoy interesado en una versión simplificada de la siguiente suma $$\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{2^k-1}.$ $ tengo que evaluar para valores de n desde $10^{4}$ hasta $10^{10}.$ existe una forma de expresar en términos de alguna función especial computable a través de Matlab o mathematica?

ACTUALIZACIÓN: Para pequeños valores de $n$ me di cuenta de que el valor es bastante cercano a $−log_2(n).$

Answer 1

Podemos reescribir la suma mediante una serie geométrica, a continuación, aplicar el teorema del binomio: \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{2^k-1}&=\sum_{k=1}^n (-1)^k {n\choose k} \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{2^{mk}}\\ &=\sum_{m=1}^{\infty}\left[\left(1-\frac{1}{2^{m}}\right)^n-1\right]. \end{align*} En un sentido, esta hecho cosas peores, porque hemos sustituido la suma finita con un infinito. Por otro lado, la serie infinita es bueno porque:

• los términos son todos negativos y aumentar monótonamente a $0$, y
• los términos de decaimiento exponencial de una vez $m$ es mayor que $\log_2(n)$.

Para $n$ grandes, los términos de la serie están muy cerca de $-1$ al $m$ es de menos de $\log_2 n$ y muy cerca de a $0$ al $m$ es mayor que $\log_2 n$. Con algo de cuidado, esto es suficiente para demostrar que la suma nunca difiere de $-\log_2(n)$ por más de $2$.

Answer 2

Usando el Teorema del binomio de Newton nos permite obtener un % de límite inferior $$\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{2^k-1} \approx \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{2^k}=-1+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{2^k}=-1+(1-\frac{1}{2})^n=-1+\frac{1}{2^n}$$