Homomorfismo de $k$-álgebra del anillo polinómico $k[x_1,\dots,x_n]$

Question

Deje $\phi:k[x_1,\dots,x_n]\mapsto k[x_1,\dots,x_n]$ $k$- álgebra homomorphism con $\phi(x_i)=f_i$ donde $k$ es algebraicamente cerrado y tiene la característica cero. Tengo las siguientes preguntas:

(1) Si $\phi$ es surjective, es decir, $k[f_1,\dots,f_n]=k[x_1,\dots,x_n]$ $(f_1,\dots,f_n)$ un ideal maximal en $k[x_1,\dots,x_n]$? Por el contrario, si $(f_1,\dots,f_n)$ es un ideal maximal en $k[x_1,\dots,x_n]$ $\phi$ surjective?

(2) Si $\phi$ es surjective, es $\phi$ inyectiva? Si esto no es cierto, hay algún contraejemplo?

(3) Ahora, vamos a $X,Y$ dos afín variedad, $\mu :X\mapsto Y$ es una de morfismos (polinomio mapa), $\mu$ inducir una $k$-álgebra homomorphism entre el anillo de coordenadas de $X,Y$ $$\mu^*:A(Y)\mapsto A(X):f\mapsto f\circ \mu.$$ Si $\mu$ es inyectiva, es $\mu^*$ siempre surjective? al menos en el caso de que $X=Y=\mathbb{A}^n$?

Answer 1

(2) Sí, si $\phi$ es surjective, es inyectiva.
De hecho, el doble de morfismos $f=\phi^*:\mathbb{A}^n_k\to \mathbb{A}^n_k$ es un cerrado la incorporación y desde $f(\mathbb{A}^n_k)\subset \mathbb{A}^n_k$ son irreductibles de la dimensión $n$ son iguales y $f$ es un isomorfismo (desde $\mathbb{A}^n_k$ es reducida ).
Por lo tanto $\phi$ es un isomorfismo demasiado y, en particular, $\phi$ es inyectiva.

(1) Si $\phi$ es surjective, es un isomorfismo por respuesta (2), de modo que, sí, $(f_1,\dots,f_n)$ es un ideal maximal en $k[x_1,\dots,x_n]$ .
Editar
El recíproco es falso: el ideal $(x_1,(x_1+1)x_2)\subset k[x_1,x_2]$ es máxima, pero el correspondiente morfismos $\phi: k[x_1,x_2]\to k[x_1,x_2]$ determinado por $\phi(x_1)=f_1=x_1,\phi(x_2)=f_2=(x_1+1)x_2$ no es surjective, ya $x_2$ no está en la imagen de $\phi$ .

(3) es falsa. Un contraejemplo es obtenido considerando la cúspide $C\subset \mathbb A^2_k$ de la ecuación ($y^2=x^3$ y el bijective de morfismos dada por $$\mu:\mathbb A^1\to C:t\mapsto (t^2,t^3)$$ This bijective morphism is not an isomorphism and the dual algebra morphism $\mu^*:k[x, y]/(y^2-x^3)\k[t]$ is injective but not surjective: its image is $k[t^2,t^3]$.

Comentario
Aviso que todo lo anterior es válido para un arbitrarias campo $k$ de cualquier característica, algebraicamente cerrado o no.