Cómo Mostrar la Cotangente Paquetes No Son Compactos Colectores?

Question

Hamiltoniana de la mecánica se produce en un sympletic colector llamado espacio de fases. Lagrangiana de la mecánica llevará a cabo en la tangente del paquete de la configuración de colector.

El uso de Legendre de transformación hace posible pasar a la formulación Hamiltoniana, porque esta transformación permite la construcción de la cotangente del bundle, que es un sympletic colector.

Formulación de lagrange es un sub-conjunto de la formulación Hamiltoniana, porque no toda la fase de espacios de la cotangente haces, de hecho hay fase de espacios que son compactos, una propiedad que no están presentes en la cotangente paquetes.

Mi pregunta es cómo demostrar que la cotangente paquetes no son compactos. Mi primer acercamiento a esta demostración fue el uso de Whitney incrustación teorema, pero no pude ya que este teorema sólo tiene compacto colectores... ¿sabes otro enfoque para demostrar este hecho?

Answer 1

No $\mathbb{R}$-vector paquete (de dimensión $\geq 1$) es cada vez más compacto.

Prueba: Supongamos $S$ ser arbitraria espacio topológico y deje $T$ ser un vector paquete de dimensión $n\geq 1$, y deje $p:T\rightarrow S$ ser el haz de proyección.

Si $S$ un colector, o incluso es $T_1$, o incluso más en general, si cualquier punto de $S$ es cerrado, entonces la prueba es particularmente fácil: vamos a $s\in S$ ser tal que $\{s\}$ es un conjunto cerrado. A continuación, $p^{-1}(s) \cong \mathbb{R}^n$ es un conjunto cerrado en $T$ porque es la preimagen de un conjunto cerrado en virtud de un mapa continuo. Este conjunto es, obviamente, no compacto. Pero si $T$ eran compactas, tendría que ser: cerrado subconjuntos de espacios compactos es compacto. Esta muestra $T$ no es compacto.

Pero hay otra prueba similar que funciona para cualquier espacio topológico, aunque no cerrado puntos. Deje $S$ ser un espacio de este tipo y deje $T,p,n$ ser como el anterior. Deje $\{U_i\}$ ser un local de la trivialización de $T$, es decir, una cubierta abierta de a $S$ tal que $p^{-1}(U_i) \cong U_i\times \mathbb{R}^n$ por cada $i$. Esto existe, por definición, de un vector paquete. No hay esperanza para $T$ a ser menos compacto $S$ es compacto, ya que es $T$'s imagen continua en $p$, por lo que se puede restringir a este caso y por lo tanto puede tomar $\{U_i\}$ a de un número finito de la cubierta. Sin pérdida de generalidad podemos tomar $\{U_i\}$ a ser mínima en el sentido de que para cada $U_i$, existen puntos de $S$ que sólo están en $U_i$ e no $U_j$ cualquier $j\neq i$. (I. e. no abra la cubierta se puede quitar. Todo esto se puede lograr colocando redundante $U_i$'s hasta que ninguno son redundantes.) Entonces, la fijación de algunos $i$, $V = \bigcap_{j\neq i} U_j^c$, el conjunto de puntos que están sólo en $U_i$, es un conjunto cerrado no vacío contenido en $U_i$. A continuación, $p^{-1}(V)\cong V\times \mathbb{R}^n$ desde $V\subset U_i$, y este conjunto es no compacta desde $\mathbb{R}^n$ no lo es. Por otro lado, como en el anterior, $p^{-1}(V)$ es cerrado en $T$, por lo que si $T$ eran compactas sería demasiado.

Este argumento muestra en general que un haz de fibras no puede ser compacta, a menos que la fibra es compacto. (También, ya que el haz de proyección es continua, el paquete no puede ser compacto, a menos que la base es compacto.)

Answer 2

Sugerencias: basta encontrar un cerrado, no-compacto subconjunto del espacio total. En un vector arbitrario de haz (de positivo rango), hay una particular forma natural de hacer esto.