impar dividido por par es una fracción

Question

¿Cómo podemos demostrar que un número impar dividido por un número par es una fracción? Empecé con impar $=2m+1$ e incluso $=2n$ y se queda con $(m+2)/n$ .

Answer 1

Una pista: Supongamos por el contrario que $\dfrac{a}{b}=n$ , donde $a$ , $b$ y $n$ son números enteros. Supongamos también que $a$ es impar, mientras que $b$ es par (y, por supuesto, distinto de cero).

Entonces $a=bn$ . A ver si puedes demostrar que esto es imposible. Aquí se utilizará el hecho de que $a$ es impar y $b$ está en paz.

Answer 2

Tu comienzo es bueno (correcto): un número impar se puede representar como $2m + 1$ , número par $2n$ , para $m,n \in \mathbb{Z}$ .

Pero entonces, para dividir, toma $$\frac {2m+1}{2n}=\frac{2m}{2n} + \frac {1}{2n} = \frac{m}{n} + \frac{1}{2n}.$$

¿Puedes ver por qué el lado derecho de la ecuación no puede ser entero (un número entero)?

$$ \frac{2m+1}{2n} = k, \text{ where}\; k\in \mathbb{Z},$$ $$\text{ then} \; 2m+1 = 2kn.$$ Obsérvese que el resto cuando el lado izquierdo ( $2m+1$ ) se divide por $2$ es $1$ mientras que el resto cuando el lado derecho ( $2kn$ ) se divide por $2$ es $0$ .

Eso es una contradicción.

Answer 3

$$ \frac{2m+1}{2n} = \frac{m+\frac12}{n} $$ Así que hay un error donde se pone $2$ donde se necesita $1/2$ .

Sin embargo, si $$ \frac{2m+1}{2n} = a = \text{an integer} $$ entonces $2m+1 = 2an$ . Pero el resto cuando $2m+1$ se divide por $2$ es $1$ y el resto cuando $2n$ se divide por $2$ es $0$ .

Answer 4

Un múltiplo entero de un número par es par, por lo que si el cociente es entero y el denominador es par, el numerador será también par. Obsérvese que $\frac{2m+1}{2n}=\frac{m}{n}+\frac{1}{2n}\neq \frac{m}{n}+\frac{2}{n}= \frac{m+2}{n}$ .

Answer 5

Sugerencia $\rm\ 2n\mid 2k+1\:\Rightarrow\ 2\,\mid\, 2k+1\,\ \Rightarrow\,\ 2\mid 1.\ $ O, en términos de fracciones,

$\rm\quad j = \dfrac{2k\!+\!1}{2n}\in\Bbb Z\:\Rightarrow\: nj = k\!+\!\dfrac{1}{2}\in \Bbb Z\:\Rightarrow\: \dfrac{1}2\in\Bbb Z,\ $ una contradicción.