Determinar el $p$ tener $\displaystyle\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{1+1}{5+6}=\frac{2}{11}$,$\mathbb{Z_p}$.

Question

Determinar el $p$ tener $\displaystyle\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{1+1}{5+6}=\frac{2}{11}$,$\mathbb{Z_p}$.

Sé que $p$, $13, 43, 61, 101,103$.

Answer 1

Intentar multiplicar ambos lados por $11 \cdot 5 \cdot 6$, para obtener $$121 = 11 \cdot 6 + 11 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 6 = 60$$ in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Answer 2

Además de a $p=121-60=61$ podemos usar el algoritmo de Euclides extendido para obtener $5^{-1}=-12$, $6^{-1}=-10$ y $11^{-1}=-11$$\mathbb{Z}/61 \mathbb{Z}$. Por lo tanto $$ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}=-12-10=-22=2\cdot (-11)=\frac{2}{11}. $$