Una pregunta sobre el punto cero

Question

$f(x)$ es continua en a $[a,b]$ $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(x)e^xdx=0.$$

Demostrar que existe dos punto cero, al menos en $(a,b)$.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Primero usamos Cameron Williams inicial argumento para demostrar que hay al menos un cero: "De $\int\limits_a^b f(x)dx=0$, sabemos que $f$ es idéntica $0$ o $f$ cruza la $x$-eje al menos en un punto."

Ahora supongamos que $f$ tiene exactamente un cero en el punto de decir $c$. Desde $f$ es continua, esto nos da la $$\int\limits_a^cf(x)dx=-\int\limits_c^bf(x)dx.$$

Del mismo modo $f(x)e^x$ puede tener sólo un cero porque $e^x$ es una función positiva en todas partes. Este cero también debe producirse en $x=c$, por lo que esto nos da

$$\int\limits_a^cf(x)e^xdx=-\int\limits_c^bf(x)e^xdx.$$

Ahora, tenga en cuenta que

$$\left|\int\limits_a^cf(x)e^xdx\right|\le\left|\int\limits_a^cf(x)e^cdx\right|=e^c\left|\int\limits_a^cf(x)dx\right|,$$

desde $e^x$ es monótonamente creciente función positiva y $f$ tiene el mismo signo en el intervalo de $[a,c)$. Tomando nota de que $f$ no es una función constante (porque sólo tiene un cero), podemos hacer que la desigualdad estricta, por lo que $$\left|\int\limits_a^cf(x)e^xdx\right|<e^c\left|\int\limits_a^cf(x)dx\right|.$$

Completamente de forma análoga, se obtiene la desigualdad

$$e^c\left|\int\limits_c^bf(x)dx\right|<\left|\int\limits_c^bf(x)e^xdx\right|.$$

Sin embargo, $$\left|\int\limits_a^cf(x)dx\right|=\left|\int\limits_c^bf(x)dx\right|,$$ así que a partir de la anterior pareja de la desigualdad, obtenemos $$\left|\int\limits_a^cf(x)e^xdx\right|<\left|\int\limits_c^bf(x)e^xdx\right|,$$ lo cual es una contradicción, porque estas cantidades deben ser iguales.

Por lo tanto $f$ debe tener al menos dos ceros en el intervalo de $[a,b]$.

Answer 2

Esta respuesta se basa en la respuesta a esta pregunta

Definir $F(x)=\int_a^x f(x)$. A continuación,$F(a)=F(b)=0$.

Usando integración por partes:

$$\int_a^b e^x f(x)dx=e^bF(b)-e^aF(a)-\int_a^b F(x)e^xdx$$

A continuación,$\int_a^b F(x)e^xdx=0$, por lo que existe un punto de $d \in (a,b)$$F(d)=0$, por lo que da:

$$\int_a^d f(x)dx=0 \land \int_d^b f(x)dx=0$$

Así que con cada integrante tiene un distinto punto en que $f(x)=0$.