La transformada de Fourier de $\operatorname{erfc}^3\left|x\right|$

Question

(este es un seguimiento de mi otra pregunta)

Podría usted por favor me ayude a encontrar la transformada de Fourier de $$f(x)=\operatorname{erfc}^3\left|x\right|,$$ donde $\operatorname{erfc}z$ denota la función complementaria de error.

Answer 1

Todavía no he conseguido obtener la respuesta final y ni siquiera estoy seguro de que esto es posible. Va a seguir intentando. A continuación se muestra algunos trabajos que reduce la transformada de Fourier para una integral que implica solamente una función de error en lugar de tres - esta es la expresión más simple que he encontrado hasta ahora. En caso de que alguien quisiera continuar en esta dirección, los resultados fueron controlados numéricamente.

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Permítanos calcular la integral $$I(\omega)=\int_0^{\infty}e^{i\omega x}\operatorname{erfc}^3x\,dx.\tag{1}$$ Obviamente, la transformada de Fourier que estamos buscando es $\mathcal{F}(\omega)=I(\omega)+I(-\omega)$.

La integración de una vez por partes, podemos escribir $$\begin{align}I(\omega)=&-\frac{1}{i\omega}-\frac{3e^{-\omega^2/4}}{i\omega}\left(-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)\int_0^{\infty}e^{-(x-i\omega/2)^2}\operatorname{erfc}^2x\,dx=\\ =&-\frac{1}{i\omega}-\frac{3e^{-\omega^2/4}}{i\omega}\int_0^{\infty} \operatorname{erfc}^2x\,d(\operatorname{erfc}(x-i\omega/2))=\\ =&-\frac{1}{i\omega}+\frac{3e^{-\omega^2/4}}{i\omega}\operatorname{erfc}(-i\omega/2)-\frac{12e^{-\omega^2/4}}{i\omega\sqrt{\pi}}\int_0^{\infty}\operatorname{erfc}(x-i\omega/2)\operatorname{erfc} x\,e^{-x^2}dx.\end{align}$$ Considere el siguiente de un parámetro de deformación de los restantes integral: $$J(s,\omega)=\int_0^{\infty}\operatorname{erfc}(x-i\omega/2)\operatorname{erfc} (sx)\,e^{-x^2}dx.$$ Su derivada parcial de w.r.t. $s$ puede ser calculado en forma explícita: $$\begin{align} \frac{\partial J}{\partial s}=&-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\infty}\operatorname{erfc}(x-i\omega/2)\,e^{-(1+s^2)x^2}xdx=\\ =&\frac{1}{\sqrt{\pi}\left(1+s^2\right)}\int_0^{\infty}\operatorname{erfc}(x-i\omega/2)\,d\left(e^{-(1+s^2)x^2}\right)=\\=&\frac{1}{\sqrt{\pi}\left(1+s^2\right)}\left[-\operatorname{erfc}\left(-\frac{i\omega}{2}\right)+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\infty}e^{-(1+s^2)x^2 -\left(x-\frac{i\omega}{2}\right)^2}dx\right]=\\ =&\frac{1}{\sqrt{\pi}\left(1+s^2\right)}\left[-\operatorname{erfc}\left(-\frac{i\omega}{2}\right)+\frac{\exp\left\{\frac{1+s^2}{2+s^2}\frac{\omega^2}{4}\right\}\operatorname{erfc}\left(-\frac{i\omega}{2\sqrt{2+s^2}}\right)}{\sqrt{2+s^2}}\right] \end{align}$$ La integración de esta de vuelta, nos encontramos con la cantidad que realmente estamos buscando: $$\begin{align} J(1,\omega)=&-\int_1^{\infty}\frac{\partial J}{\partial s}ds=\\ =&\frac{\sqrt{\pi}}{4}\operatorname{erfc}\left(-\frac{i\omega}{2}\right) -\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_1^{\infty}\frac{\exp\left\{\frac{1+s^2}{2+s^2}\frac{\omega^2}{4}\right\}\operatorname{erfc}\left(-\frac{i\omega}{2\sqrt{2+s^2}}\right)}{(1+s^2)\sqrt{2+s^2}}ds \end{align}$$ Esto le da $$\begin{align} I(\omega)=&-\frac{1}{i\omega}+\frac{12}{i\omega\pi}\int_1^{\infty}\frac{\exp\left\{-\frac{\omega^2}{4(2+s^2)}\right\}\operatorname{erfc}\left(-\frac{i\omega}{2\sqrt{2+s^2}}\right)}{(1+s^2)\sqrt{2+s^2}}ds=\\ =&-\frac{1}{i\omega}+\frac{48}{i\omega\pi}\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{6}} \frac{e^{-\omega^2u^2}\operatorname{erfc}(-i\omega u) \, udu}{(1-4u^2)\sqrt{1-8u^2}}. \end{align}$$ Por lo tanto, la transformada de Fourier se puede escribir como $$\boxed{\displaystyle\mathcal{F}(\omega)=\frac{96}{i\omega\pi}\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{6}} \frac{e^{-\omega^2u^2}\operatorname{fer} i\omega u) \, udu}{(1-4u^2)\sqrt{1-8^2}}}\etiqueta{2}$$

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Más ideas:

Obviamente, el uso de (2), se puede calcular un número arbitrario de los términos en la expansión de Taylor de $\mathcal{F}(\omega)$. Aquí están varios de los primeros términos: $$\begin{align} \mathcal{F}(\omega)=\frac{6}{\pi^{3/2}}\left[(\pi-2\alpha)-\frac{2+6\pi-15\alpha}{36}\omega^2+\frac{74+144\pi-387\alpha}{8640}\omega^4+\ldots\right], \end{align}$$ donde $\alpha=\sqrt{2}\arcsin\sqrt{\frac23}$. Esta estructura de coeficientes persiste en los términos de orden superior: son combinaciones lineales de $1$, $\pi$ y $\alpha$ con coeficientes racionales. Si uno puede identificar la correspondiente racional secuencias, probablemente sería posible resumir la serie (tal vez para algunos hipergeométrica expresiones).

En realidad, si escribimos $\mathcal{F}(\omega)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathcal{F}_k\omega^{2k}$, es posible deducir la siguiente expresión exacta para los coeficientes de Taylor: $$\mathcal{F}_k=\frac{1}{(2k+1)!}\frac{6}{\pi^{3/2}}\left[\frac{\partial^k}{\partial p^k}\left(\frac{\pi}{p}-\frac{4\arctan\sqrt{1+p}}{p\sqrt{1+p}}\right)\right]_{p=1}\tag{3}$$ A partir de esto nos encontramos con que el "$\pi$-participación" (correspondiente a los derivados de la $\frac{\pi}{p}$ en la última fórmula) en el anterior razonamiento se resume a $$\mathcal{C}_{\pi}(\omega)= \frac{6e^{-\omega^2/4}}{i\omega}\operatorname{erf}\left(\frac{i\omega}{2}\right).$$

El "$\alpha$-participación" corresponde a los derivados del segundo término de (3) que no actúan en $\arctan\sqrt{1+p}$. Aquí de nuevo es posible que (el cálculo es un poco comprometido, pero relativamente sencillo, así que sólo está presente si alguien va a ser explícitamente interesados) para resumir la serie correspondiente a $$\mathcal{C}_{\alpha}(\omega)=-\frac{24\arctan \sqrt2}{i\pi\omega}e^{-\omega^2/4}\operatorname{erf}\left(\frac{i\omega}{2\sqrt{2}}\right)$$

Todavía queda "$1$-contribución" para determinar (trabajando en ello). De ahí hasta el momento de la declaración es que $$\boxed{\displaystyle\mathcal{F}(\omega)=\mathcal{C}_{\pi}(\omega)+\mathcal{C}_{\alpha}(\omega)+\frac{\omega^2}{3\pi^{3/2}}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}r_k\omega^{2k}}$$ donde $r_k$ son positivas $rational$ números (la normalización se elige de modo que $r_0=1$).