Evalúa el límite:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\ln(\cos x)}{x\sqrt{1+x}-x} \right]$$
En realidad pude encontrar que el límite es $-1$ tras aplicar dos veces la regla de L'Hôpital.
Me pregunto si esa era la intención de este ejercicio o hay una manera más "fácil".
Gracias.
Debemos proceder del siguiente modo $$\begin{aligned}L &= \lim_{x \to 0}\frac{\log(\cos x)}{x\sqrt{1 + x} - x}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + \cos x - 1)}{x\sqrt{1 + x} - x}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + \cos x - 1)}{\cos x - 1}\cdot\frac{\cos x - 1}{x\sqrt{1 + x} - x}\\ &= \lim_{x \to 0}1\cdot\frac{\cos x - 1}{x\sqrt{1 + x} - x}\\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^{2}}\cdot\frac{x^{2}}{x\sqrt{1 + x} - x}\\ &=\lim_{x \to 0} \frac{-1}{2}\cdot\frac{\sqrt{1 + x} + 1}{1} = -1\end{aligned}$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
El " $x^2$ " en las respuestas de la serie explique por qué acabó utilizando la Regla dos veces.
0 votos
@AndréNicolas, ¿Puedes explicar mejor la conexión entre la regla de L'Hôpital y los polinomios de Taylor? Además, ¿cómo se puede saber a priori cuál es el orden correcto para el polinomio de Taylor? (por ejemplo, en este caso)
1 votos
Una vez que uno tiene en la mente una "biblioteca" de polinomios de Taylor, a menudo puede ser claro incluso sin cálculo formal. En cuanto a la conexión, pensemos informalmente en lo que ocurre cuando aplicamos la regla de L'Hospital a $\frac{2x^3+x^4+\cdots}{x^3+x^7+\cdots}$ .