Evaluar un límite, $\lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}} {\sum\limits_{n=1} ^{\infty} \frac{\sqrt{t}}{1+tn^2}}$

Question

Parece que el siguiente límite existe. Pero no pude averiguar el valor exacto. Alguien me podría ayudar? Gracias! \begin{align*} \lim_{t\rightarrow 0^{+}} {\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{\sqrt{t}}{1+tn^2}} \end{align*}

Answer 1

Sugerencia: $$ \sqrt t \int_1^\infty {\frac{1}{{1 + tx^2 }}\,dx} = \int_{\sqrt t }^\infty {\frac{1}{{1 + x^2 }}\,dx} \a \frac{\pi }{2}. $$

Answer 2

Nota la cotangente hiperbólica de identidad

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{z^2+n^2} =\frac{\pi z \coth(\pi z)-1}{2z^2}.$$

Reemplace $t$ $t^2$ por conveniencia. Entonces

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{t}{1+t^2n^2} =\frac{1}{t}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{t^{-2}+n^2}=\frac{1}{2} \left[\pi\coth(\pi/t)-t\right].$$

Observar que $\coth(s)\to1$$s\to\infty$$t\to0$, por lo que el límite es $\pi/2$.