Sub-módulos de libre módulos: torsión pregunta un poco

Question

Los siguientes teoremas aparecen muchos lugares en los libros y en este sitio también.

Sub-módulos de un módulo son libres, a condición de que el anillo de escalares es P. I. D.

Si $R$ no está de P. I. D., a continuación, sub-módulo de libre $R$-módulo no puede ser libre.

He ido a través de la prueba del teorema así como contraejemplo. Pero mi siguiente pregunta viene de estos dos hechos:

Deje $M$ $R$- módulo (y se supone que $M$ ha apropiado de sub-módulos). Si $R$ no es un P. I. D., a continuación, es necesario que no existe un sub-módulo de $M$ que no es gratis?

Answer 1

Sí.

Si $M$ no es libre, entonces el resultado es trivial.

Suponga que $M$ es gratis. A continuación, $M$ contiene una copia de $R$, por lo que es suficiente para demostrar que el reclamo por $R$.

Desde $R$ no es un PID, entonces contiene un no-director de ideal, o no es la integral de dominio. En el último caso, vamos a $a$ ser un cero divisor; a continuación, el submódulo de $R$ generado por $a$ no es libre.

Finalmente, suponga que $R$ es una parte integral de dominio, y deje $I$ ser un no-principal ideal de $R$. Si $I$ eran libres de $R$-módulo, entonces habría que admitir una base $(x_j)_{j\in J}$, $J$ un conjunto que contiene al menos dos elementos. Pero entonces, para cualquier $i\neq j$$J$, tendríamos $$ x_ix_j - x_jx_i = 0, $$ contradiciendo la independencia lineal de $x_i$$x_j$. Por lo tanto $I$ no es un módulo.