Diagonalmente dominante de la matriz con la matriz de similitud

Question

La aplicación de la similitud de transformar a una matriz de $A$ le da: $$M=P^{-1}AP$$ $M$ $A$ tienen los mismos autovalores. Cuál es el camino para encontrar a $P$ tal que $M$ es diagonalmente dominante caso de $A$? $M$ es diagonalmente dominante si

$$|{m_{ii}}| \ge \sum\limits_{j \ne i} | {m_{ij}}|\quad {\rm{for \quad all}}\quad i,{\mkern 1mu} $$ Nota: quiero $P$ a de ser algo distinto a los vectores propios de a $A$

EDITAR:

Algunos de los valores propios de a $A$ podría ser cero.

Answer 1

Si $A$ es diagonalisable, entonces se puede establecer el $P$ a ser la matriz de vectores propios. A continuación, $M$ será una matriz diagonal con entradas iguales a los valores propios de a $A$.

Answer 2

Tomando Jennifer Dylan razonamiento un poco más:

Suponga que $A$ es invertible, es decir, no hay autovalores cero. A continuación, $A$ es similar a la $$\operatorname{diag}(J_{\lambda_1}(k_1),\dots,J_{\lambda_r}(k_r))$$ where each $J_{\lambda_i}(k_i)$ is a Jordan block of size $k_i \times k_i$ and $\lambda_i \ne 0$. For any $\varepsilon>0$, el bloque de $$J_{\lambda_i}(k_i) = \begin{bmatrix} \lambda_i \\ 1 & \ddots \\ & \ddots & \ddots \\ & & 1 & \lambda_i \end{bmatrix}$$ es similar a la $$\widetilde{J}_{\lambda_i}(k_i) = \begin{bmatrix} \lambda_i \\ \varepsilon & \ddots \\ & \ddots & \ddots \\ & & \varepsilon & \lambda_i \end{bmatrix},$$ que se puede comprobar fácilmente mediante el cálculo de $P J_{\lambda_i}(k_i) P^{-1}$ donde $$P=\operatorname{diag}(1,\varepsilon,\dots,\varepsilon^{k_i-1}).$$ Para cada una de las $i$ simplemente la selección de $\varepsilon$ a menos de $|\lambda_i|$, y usted tiene un (estrictamente) en diagonal dominante de la matriz. Tenga en cuenta que si $A$ es singular, entonces no puede ser similar a una estrictamente diagonal dominante de la matriz.

Pregunta: ¿qué hacemos con los bloques de Jordan de a $\lambda=0$?

En el $2 \times 2$ caso tenemos $$\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}. $$