¿Existe alguna definición significativa para $\aleph_r$ (como en cardinalidad) donde $r\in\mathbb{R}^+$? ¿$r\in\mathbb{C}$? ¿Qué pasa con $\aleph_{\aleph_0}$? ¿Podemos iterar esto? $\aleph_{\aleph_{\aleph_{\cdots}}}$
Puede que esté haciendo un montón de preguntas bastante ingenuas/básicas, ya que no he aprendido mucho sobre cardinalidades infinitas. Si me estoy refiriendo a un montón de cosas ampliamente tratadas en áreas establecidas, por favor señálalo amablemente.
Los números $\aleph$ están bien ordenados. Esto significa que cada conjunto no vacío tiene un elemento minimal. Además, están ordenados linealmente.
Esto significa que cualquier indexación impuesta sobre ellos debe tener al menos estas dos propiedades. Los números reales no están bien ordenados (considere el subconjunto $(0,1)$, o incluso $\mathbb R$ en sí mismo) y los números complejos ni siquiera están ordenados en ningún sentido natural.
La idea detrás de tener un buen orden es decir cuál es la siguiente cardinalidad. Dado un conjunto, podemos decir fácilmente cuál es el menor $\aleph$ que es más grande. En los números naturales (y su generalización, los ordinales) tenemos una función sucesor que hace eso, por lo que es una buena base para usar al indexar cardinalidades. No tenemos una buena función sucesora para los números reales, o para cualquier ordenación densa en realidad.
Es posible tener $\aleph_{\aleph_0}$, pero hay un problema menor aquí. $\aleph_0$ es la notación que discute tamaño, mientras que $\aleph_\alpha$ es la cardinal que las cardinales por debajo de ella tienen un tipo de orden $\alpha$. Entonces escribimos $\aleph_\omega$, donde $\omega$ es el ordinal infinito menor. Esta es una cardinal límite, lo que significa que no es un sucesor de ninguna cardinal -- pero hay $\aleph$'s más pequeños no obstante.
Esto, por supuesto, se puede reiterar, pero necesitamos usar la forma ordinal, en lugar de la forma cardinal. Es decir, todos los números $\aleph$ también son ordinales. $\aleph_\alpha$ es en realidad el ordinal $\omega_\alpha$, donde estos ordinales se definen recursivamente como ordinales que son $(1)$ infinitos; y $(2)$ no tienen una inyección en ningún ordinal más pequeño. El menos es $\aleph_0$ y es la cardinalidad de los números naturales, que es el ordinal $\omega$.
Así que si deseamos iterar, $\aleph_0\to\aleph_{\aleph_0}\to\aleph_{\aleph_{\aleph_0}}\to\dots$ en realidad necesitamos hacerlo de la siguiente manera: $$\aleph_0\to\aleph_{\omega}\to\aleph_{\omega_\omega}\to\ldots$$
Dicho esto, sin el axioma de elección es consistente tener conjuntos cuya cardinalidad no es un número $\aleph$, es decir, conjuntos que no pueden ser bien ordenados. Es consistente que haya una colección de conjuntos que está ordenada (por inclusión) como los números reales, y ningún dos conjuntos tienen la misma cardinalidad (no hay una biyección entre dos conjuntos distintos).
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